PLAY.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename PLAY.XGP[TEX,DEK] blob sn#392816 filedate 1978-11-04 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000142*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα461
␈βα@␈↓ α␈εαIt␈αis␈αclear␈αthat␈αthe␈αresults␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αobtained␈αabout␈αchains␈αfor␈α
polynomials␈αin
␈βαk␈↓ ↓H␈εαa␈α
single␈α
variable␈αcan␈α
be␈αextended␈α
without␈α
di}culty␈αto␈α
m␈α␈ultivariate␈α
polynomials.
␈ββ⊗␈↓ ↓H␈εαFor␈αexample,␈α
if␈α
w␈α␈e␈αwan␈α␈t␈α
to␈α
|nd␈αan␈α
optim␈α␈um␈α
scheme␈αfor␈α
polynomial␈αevaluation
␈ββA␈↓ ↓H␈ε∂without␈εα␈α∂adaptation␈α⊂of␈α⊂coe}cien␈α␈ts,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂can␈α∂regard␈↓ πn␈ελu␈↓ λ∧␈εα(␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ"␈εα)␈α⊂as␈α⊂a␈α∂polynomial␈α⊂in␈α∂the
␈ββm␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓d␈εα+␈αε2␈α
variables␈↓ βA␈ελx␈↓ βT␈εα,␈↓ βi␈ελu␈↓ ∧∂␈εα,␈↓ ∧$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧T␈εα,␈↓ ∧i␈ελu␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬!␈ελu␈↓ ¬D␈εα;␈αex␈α␈ercise␈α38␈αsho␈α␈ws␈α
that␈↓ λ>␈ελn␈↓ λ↑␈εαm␈α␈ultiplications␈αand␈↓ ↔␈ελn
␈ββz␈↓ β⎇␈εn␈↓ ∧}␈ε¬1␈↓ ¬6␈ε¬0
␈β∧_␈↓ ↓H␈εαadditions␈α	are␈α
necessary␈α
in␈α
this␈α	case.␈αIndeed,␈α
A.␈α	Borodin␈α
[␈ε∂Theory␈α
of␈α
Machines␈α	and
␈β∧C␈↓ ↓H␈ε∂Computations␈εα,␈αed.␈αby␈α
Z.␈αKohavi␈αand␈αA.␈αPaz␈α
(New␈αYork:␈αAcademic␈α
Press,␈α1971),
␈β∧n␈↓ ↓H␈εα45↑58]␈αhas␈α
pro␈α␈v␈α␈ed␈αthat␈αHorner's␈α
rule␈α(2)␈α
is␈αessen␈α␈tially␈α
the␈ε∂␈αonly␈εα␈α
way␈αto␈αcompute
␈β¬→␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αin␈α2␈↓ αP␈ελn␈↓ αr␈εαoperations␈αwithout␈αpreconditioning.
␈β¬g␈↓ α␈εαWith␈α	minor␈α
variations,␈α
the␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α
methods␈α	can␈α
be␈α	extended␈α
to␈α	chains␈α	in␈α␈v␈α␈olv-
␈βε∪␈↓ ↓H␈εαing␈α∂division,␈α⊃i.e.,␈α⊂to␈α⊂rational␈α⊂functions␈α∂as␈α⊂w␈α␈ell␈α∂as␈α⊂polynomials.␈α↔Curiously,␈α⊂the
␈βε>␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tin␈α␈ued-fraction␈αanalog␈αof␈αHorner's␈αrule␈αno␈α␈w␈α
turns␈αout␈αto␈αbe␈αoptimal␈αfrom␈αan
␈βεi␈↓ ↓H␈εαoperation-coun␈α␈t␈α
standpoin␈α␈t,␈αif␈αm␈α␈ultiplication␈αand␈α
division␈αspeeds␈αare␈α
equal,␈αev␈α␈en
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εαwhen␈αpreconditioning␈αis␈αallo␈α␈w␈α␈ed␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α37).
␈βπE␈↓ α␈εαSometimes␈α⊂division␈α⊃is␈α⊂helpful␈α⊂during␈α⊂the␈α⊃evaluation␈α⊂of␈α⊂polynomials,␈α⊃ev␈α␈en
␈βπq␈↓ ↓H␈εαthough␈αpolynomials␈αare␈α
de|ned␈αonly␈αin␈αterms␈αof␈αm␈α␈ultiplication␈αand␈αaddition;␈αw␈α␈e
␈βλ≤␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α	seen␈α
examples␈α
of␈α
this␈α
in␈α	the␈α
Shaw↑Traub␈α
algorithms␈α
for␈α
polynomial␈α	deriva-
␈βλB␈↓ εb␈εn
␈βλG␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈es.␈αAnother␈α	example␈α
is␈α	the␈α
polynomial␈↓ εO␈ελx␈↓ εy␈εα+␈↓ π!␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πP␈εα+␈↓ πy␈ελx␈↓ λ⊂␈εα+␈α¬1:␈α
Since␈α
this␈α	polynomial
␈βλm␈↓ βK␈εn␈↓ β]␈ε¬+1
␈βλr␈↓ ↓H␈εαcan␈αλbe␈αλwritten␈α	(␈↓ β9␈ελx␈↓ ∧␈ε⊗␈␈εα␈αβ1)/(␈↓ ∧o␈ελx␈↓ ¬∧␈ε⊗␈␈εα␈α∧1),␈α	w␈α␈e␈αλcan␈αλevaluate␈α	it␈αλwith␈↓ λG␈ελl␈↓ λQ␈εα(␈↓ λ]␈ελn␈↓ λv␈εα+␈αβ1)␈αλm␈α␈ultiplications
␈β	≥␈↓ ↓H␈εα(see␈απSection␈αλ4.6.3),␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλsubtractions,␈αλand␈αλone␈απdivision,␈α	while␈απtechniques␈αλthat␈απav␈α␈oid
␈β	I␈↓ ↓H␈εαdivision␈αseem␈αto␈αrequire␈αabout␈αthree␈αtimes␈αas␈αman␈α␈y␈αoperations␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α43).
␈β
3␈↓ ↓H␈ε∩Special␈αm␈α␈ultivariate␈αpolynomials.␈εα␈α↔The␈ε∂␈αdeterminan␈α␈t␈εα␈αof␈αan␈↓ λZ␈ελn␈↓ λw␈ε⊗α␈↓ 	"␈ελn␈↓ 	D␈εαmatrix␈αmay␈αbe
␈β
Y␈↓ ¬M␈ε¬2
␈β
↑␈↓ ↓H␈εαconsidered␈απto␈απbe␈απa␈απpolynomial␈απin␈↓ ¬8␈ελn␈↓ ¬c␈εαvariables␈↓ εv␈ελx␈↓ π∨␈εα,␈αλ1␈ε⊗␈α
∀␈↓ π{␈ελi␈↓ λ	␈εα,␈↓ λ→␈ελj␈↓ λ3␈ε⊗∀␈↓ λa␈ελn␈↓ λw␈εα.␈α
If␈↓ 	*␈ελx␈↓ 	a␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αλw␈α␈e␈απhav␈α␈e
␈β
l␈↓ πε␈εi␈↓ π∩␈εj␈↓ 	;␈ε¬11
␈β(␈↓ α␈ε↓0␈↓ ∧D␈ε↓1
␈β:␈↓ α_␈ελx␈↓ αm␈ελx␈↓ βA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∂␈ελx
␈βH␈↓ α(␈ε¬1␈α↓1␈↓ α⎇␈ε¬12␈↓ ∧ ␈ε¬1␈↓ ∧.␈εn
␈βf␈↓ α_␈ελx␈↓ αm␈ελx␈↓ βA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∂␈ελx
␈βi␈↓ α␈ε↓B␈↓ ∧D␈ε↓C
␈βs␈↓ α(␈ε¬2␈α↓1␈↓ α⎇␈ε¬22␈↓ ∧ ␈ε¬2␈↓ ∧.␈εn
␈β␈␈↓ α␈ε↓B␈↓ ∧D␈ε↓C
␈βλ␈↓ α*␈εα.␈↓ α␈␈εα.␈↓ ∧!␈εα.
␈β	␈↓ ↓H␈εαdet
␈β∀␈↓ α␈ε↓@␈↓ ∧D␈ε↓A
␈β⊗␈↓ α*␈εα.␈↓ α␈␈εα.␈↓ ∧!␈εα.
␈β%␈↓ α*␈εα.␈↓ α␈␈εα.␈↓ ∧!␈εα.
␈βP␈↓ α_␈ελx␈↓ αm␈ελx␈↓ βA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∂␈ελx
␈β]␈↓ α(␈εn␈↓ α:␈ε¬1␈↓ α⎇␈εn␈↓ β∂␈ε¬2␈↓ ∧ ␈εn␈↓ ∧2␈εn
␈βv␈↓ ∧@␈ε↓0␈↓ 
ε␈ε↓1
␈β
∀␈↓ ∧X␈ελx␈↓ ¬⊃␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ¬I␈ελx␈↓ ¬w␈εα/␈↓ ε	␈ελx␈↓ ε6␈εα)␈↓ εB␈ελx␈↓ π↔␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πe␈ελx␈↓ λ!␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ λY␈ελx␈↓ 	π␈εα/␈↓ 	→␈ελx␈↓ 	F␈εα)␈↓ 	R␈ελx
␈β
"␈↓ ∧i␈ε¬22␈↓ ¬Z␈ε¬21␈↓ ε→␈ε¬1␈α↓1␈↓ εS␈ε¬12␈↓ πu␈ε¬2␈↓ λ∧␈εn␈↓ λj␈ε¬21␈↓ 	)␈ε¬1␈α↓1␈↓ 	c␈ε¬1␈↓ 	q␈εn
␈β
6␈↓ ∧@␈ε↓B␈↓ 
ε␈ε↓C
␈β
:␈↓ ¬-␈εα.␈↓ λ=␈εα.
␈β
I␈↓ ¬-␈εα.␈↓ λ=␈εα.
␈β
K␈↓ β'␈εα=␈↓ βU␈ελx␈↓ ∧λ␈εαdet␈↓ 
≡␈εα.␈↓ 
p(31)
␈β
L␈↓ ∧@␈ε↓@␈↓ 
ε␈ε↓A
␈β
W␈↓ ¬-␈εα.␈↓ λ=␈εα.
␈β
Y␈↓ βf␈ε¬11
␈β∞α␈↓ ∧X␈ελx␈↓ ¬⊃␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ ¬I␈ελx␈↓ ¬z␈εα/␈↓ ε␈ελx␈↓ ε:␈εα)␈↓ εF␈ελx␈↓ π↔␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πe␈ελx␈↓ λ!␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ λY␈ελx␈↓ 	
␈εα/␈↓ 	≤␈ελx␈↓ 	J␈εα)␈↓ 	V␈ελx
␈β∞⊂␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧{␈ε¬2␈↓ ¬Z␈εn␈↓ ¬l␈ε¬1␈↓ ε≥␈ε¬11␈↓ εV␈ε¬1␈α↓2␈↓ πu␈εn␈↓ λπ␈εn␈↓ λj␈εn␈↓ λ|␈ε¬1␈↓ 	-␈ε¬11␈↓ 	f␈ε¬1␈↓ 	u␈εn
␈β∞h␈↓ ↓H␈εαThe␈απdeterminan␈α␈t␈αλof␈αλan␈↓ ∧'␈ελn␈↓ ∧?␈ε⊗α␈↓ ∧e␈ελn␈↓ ¬β␈εαmatrix␈απmay␈αλtherefore␈αλbe␈απevaluated␈αλby␈αλevaluating␈απthe
␈β∂∞␈↓ 
]␈ε¬2
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εαdeterminan␈α␈t␈α
of␈α
an␈α
(␈↓ βu␈ελn␈↓ ∧⊃␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈ε⊗␈αεα␈εα␈αε(␈↓ ¬∀␈ελn␈↓ ¬/␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈αmatrix␈α
and␈α
using␈α
an␈αadditional␈α
(␈↓ 	z␈ελn␈↓ 
∃␈ε⊗␈␈εα␈αε1␈↓ 
Q␈εα)␈↓ 
q␈εα+␈α¬1
␈β∂9␈↓ ∧.␈ε¬2
␈β∂>␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications,␈α	(␈↓ βP␈ελn␈↓ βi␈ε⊗␈␈εα␈αβ1␈↓ ∧"␈εα)␈↓ ∧E␈εαadditions,␈α	and␈↓ ε*␈ελn␈↓ εC␈ε⊗␈␈εα␈αβ1␈α	divisions.␈αSince␈αλa␈α	2␈ε⊗␈αβα␈εα␈αβ2␈αλdeterminan␈α␈t
␈β∂i␈↓ ↓H␈εαcan␈α⊂be␈α⊂evaluated␈α⊃with␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊂m␈α␈ultiplications␈α⊃and␈α⊂one␈α⊂addition,␈α∩w␈α␈e␈α⊂see␈α⊂that␈α⊂the
␈β⊂∀␈↓ ↓H␈εαdeterminan␈α␈t␈α	of␈α
almost␈α
all␈α	matrices␈α
(namely␈α
those␈α	for␈α
which␈α
no␈α	division␈α
by␈α
zero␈α	is
␈β⊂;␈↓ εt␈ε¬3␈↓ πY␈ε¬2
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εαrequired)␈α
can␈α
be␈α
computed␈α
with␈α
at␈α
most␈α(2␈↓ ε←␈ελn␈↓ πλ␈ε⊗␈␈εα␈αε3␈↓ πD␈ελn␈↓ πm␈εα+␈αε7␈↓ λ)␈ελn␈↓ λD␈ε⊗␈␈εα␈α¬6)/6␈α
m␈α␈ultiplications,
␈β⊂f␈↓ ↓{␈ε¬3␈↓ αe␈ε¬2␈↓ επ␈ε¬2
␈β⊂k␈↓ ↓H␈εα(2␈↓ ↓f␈ελn␈↓ α∩␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ αP␈ελn␈↓ α|␈εα+␈↓ β(␈ελn␈↓ β=␈εα)/6␈αadditions,␈αand␈α(␈↓ ¬q␈ελn␈↓ ε≡␈ε⊗␈␈↓ εJ␈ελn␈↓ εg␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)/2␈αdivisions.
␈β⊃≤␈↓ α␈εαWhen␈αzero␈αoccurs,␈αthe␈αdeterminan␈α␈t␈αis␈αev␈α␈en␈αeasier␈αto␈αcompute.␈αFor␈αexample,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα462␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα&␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓j␈ελx␈↓ α!␈εα=␈α
0␈αbut␈↓ β/␈ελx␈↓ βf␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βα4␈↓ ↓z␈ε¬1␈α↓1␈↓ β@␈ε¬21
␈βπ␈↓ α⊃␈ε↓0␈↓ ∧ ␈ε↓1
␈βπ↔␈↓ ¬[␈ε↓0␈↓ 

␈ε↓1
␈βπ+␈↓ α7␈ε¬0␈↓ αq␈εx␈↓ β5␈ε¬.␈α∧.␈α¬.␈↓ βu␈εx
␈βπ4␈↓ α␈␈επ1␈α↓2␈↓ ∧β␈επ1␈↓ ∧∂␈ε
n
␈βπ6␈↓ εN␈εx␈↓ πj␈ε¬.␈α¬.␈α¬.␈↓ 	¬␈εx
␈βπ>␈↓ ε\␈επ12␈↓ 	∪␈επ1␈↓ 	≡␈ε
n
␈βπL␈↓ α+␈εx␈↓ αq␈εx␈↓ β5␈ε¬.␈α∧.␈α¬.␈↓ βu␈εx
␈βπM␈↓ α⊃␈ε↓B␈↓ ∧ ␈ε↓C
␈βπT␈↓ α:␈επ21␈↓ α␈␈επ2␈α↓2␈↓ ∧β␈επ2␈↓ ∧∂␈ε
n
␈βπV␈↓ ¬w␈εx␈↓ ε≤␈ε→␈␈ε¬(␈↓ εC␈εx␈↓ εg␈ε¬/␈↓ εv␈εx␈↓ π≠␈ε¬)␈↓ π$␈εx␈↓ πj␈ε¬.␈α¬.␈α¬.␈↓ λ,␈εx␈↓ λU␈ε→␈␈ε¬(␈↓ λ|␈εx␈↓ 	!␈ε¬/␈↓ 	/␈εx␈↓ 	T␈ε¬)␈↓ 	]␈εx
␈βπX␈↓ ¬[␈ε↓B␈↓ 

␈ε↓C
␈βπ←␈↓ εε␈επ32␈↓ εQ␈επ31␈↓ π∧␈επ21␈↓ π2␈επ2␈α↓2␈↓ λ;␈επ3␈↓ λF␈ε
n␈↓ 	
␈επ31␈↓ 	=␈επ21␈↓ 	l␈επ2␈↓ 	w␈ε
n
␈βπc␈↓ α⊃␈ε↓B␈↓ ∧ ␈ε↓C
␈βπj␈↓ 
"␈εα.␈↓ 
p␈εα(32)
␈βπl␈↓ α+␈εx␈↓ αq␈εx␈↓ β5␈ε¬.␈α∧.␈α¬.␈↓ βu␈εx
␈βπn␈↓ ¬[␈ε↓@␈↓ 

␈ε↓A
␈βπq␈↓ ε\␈ε¬.␈↓ 	∃␈ε¬.
␈βπr␈↓ ↓d␈ε¬det␈↓ ∧B␈ε¬=␈ε→␈α	␈␈↓ ¬¬␈εx␈↓ ¬/␈ε¬de␈α␈t
␈βπu␈↓ α:␈επ31␈↓ α␈␈επ3␈α↓2␈↓ ∧β␈επ3␈↓ ∧∂␈ε
n
␈βπx␈↓ α⊃␈ε↓@␈↓ ∧ ␈ε↓A
␈βπ{␈↓ ¬∪␈επ21
␈βπ|␈↓ ε\␈ε¬.␈↓ 	∃␈ε¬.
␈βλ∧␈↓ α:␈ε¬.␈↓ α␈␈ε¬.␈↓ ∧ε␈ε¬.
␈βλε␈↓ ε\␈ε¬.␈↓ 	∃␈ε¬.
␈βλ∂␈↓ α:␈ε¬.␈↓ α␈␈ε¬.␈↓ ∧ε␈ε¬.
␈βλ~␈↓ α:␈ε¬.␈↓ α␈␈ε¬.␈↓ ∧ε␈ε¬.
␈βλ'␈↓ ¬s␈εx␈↓ ε≤␈ε→␈␈ε¬(␈↓ εC␈εx␈↓ εl␈ε¬/␈↓ εz␈εx␈↓ π∨␈ε¬)␈↓ π(␈εx␈↓ πj␈ε¬.␈α¬.␈α¬.␈↓ λ(␈εx␈↓ λU␈ε→␈␈ε¬(␈↓ λ|␈εx␈↓ 	%␈ε¬/␈↓ 	3␈εx␈↓ 	X␈ε¬)␈↓ 	a␈εx
␈βλ/␈↓ εα␈ε
n␈↓ ε⊃␈επ2␈↓ εQ␈ε
n␈↓ ε`␈επ1␈↓ πλ␈επ2␈α↓1␈↓ π7␈επ22␈↓ λ7␈ε
n␈↓ λF␈ε
n␈↓ 	
␈ε
n␈↓ 	→␈επ1␈↓ 	A␈επ2␈α↓1␈↓ 	p␈επ2␈↓ 	{␈ε
n
␈βλ:␈↓ α)␈εx␈↓ αo␈εx␈↓ β5␈ε¬.␈α∧.␈α¬.␈↓ βs␈εx
␈βλC␈↓ α8␈ε
n␈↓ αG␈επ1␈↓ α⎇␈ε
n␈↓ β
␈επ2␈↓ ∧↓␈ε
n␈↓ ∧⊃␈ε
n
␈β
3␈↓ ↓H␈εαHere␈α
the␈α
reduction␈α
to␈α
an␈α
(␈↓ ∧Z␈ελn␈↓ ∧u␈ε⊗␈␈εα␈αε1)␈ε⊗␈α¬α␈εα␈αε(␈↓ ¬x␈ελn␈↓ ε∪␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈α
determinan␈α␈t␈α
sav␈α␈es␈↓ 		␈ελn␈↓ 	$␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈α
of␈α
the␈α
m␈α␈ulti-
␈β
↑␈↓ ↓H␈εαplications␈α	and␈↓ β+␈ελn␈↓ βE␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈α
of␈α	the␈α
additions␈α	used␈α
in␈α
(31),␈α
and␈α	this␈α
certainly␈α	compensates
␈β∞
␈↓ ↓H␈εαfor␈α∂the␈α∂additional␈α⊂bookk␈α␈eeping␈α∂required␈α⊂to␈α∂recognize␈α∂this␈α⊂case.␈α⊗Therefore␈α∂an␈α␈y
␈β∞0␈↓ π ␈ε¬3
␈β∞2␈↓ εx␈ε¬2
␈β∞5␈↓ ↓H␈εαdeterminan␈α␈t␈α
can␈α
be␈α
evaluated␈α
with␈α
roughly␈↓ π
␈ελn␈↓ π8␈εαarithmetic␈α
operations␈α
(including
␈β∞E␈↓ εx␈∧∞Eεxα∂
␈β∞H␈↓ εx␈ε¬3
␈β∞`␈↓ ↓H␈εαdivision);␈α	this␈αλis␈αλremarkable,␈α	since␈αλit␈αλis␈αλa␈α	polynomial␈αλwith␈↓ λ9␈ελn␈↓ λN␈εα!␈αλterms␈α	and␈↓ 
β␈ελn␈↓ 
 ␈εαvariables
␈β∂␈↓ ↓H␈εαin␈αeach␈αterm.
␈β⊂q␈↓ α␈εαIf␈α
w␈α␈e␈α∞wan␈α␈t␈α
to␈α∞evaluate␈α
the␈α∞determinan␈α␈t␈α
of␈α∞a␈α
matrix␈α∞with␈ε∂␈α
in␈α␈teger␈εα␈α
elemen␈α␈ts,
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαthe␈α	abo␈α␈v␈α␈e␈α
process␈α	appears␈α	to␈α
be␈α	unattractiv␈α␈e␈α
since␈α	it␈α
requires␈α	rational␈α	arithmetic.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα463
␈βα(␈↓ ↓H␈εαHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α∂w␈α␈e␈α∂can␈α∂use␈α∂the␈α∂method␈α∞to␈α∂evaluate␈α∂the␈α∂determinan␈α␈t␈α∂mod␈↓ 

␈ελp␈↓ 
∨␈εα,␈α⊂for␈α∞an␈α␈y
␈βαS␈↓ ↓H␈εαprime␈↓ α/␈ελp␈↓ αB␈εα,␈α∞since␈α∞division␈α∞mod␈↓ ¬
␈ελp␈↓ ¬.␈εαis␈α
possible␈α∞(ex␈α␈ercise␈α∞4.5.2↑15).␈α⊃If␈α∞this␈α∞is␈α∞done␈α
for
␈βα}␈↓ ↓H␈εαsu}cien␈α␈tly␈αman␈α␈y␈α
primes␈↓ ∧U␈ελp␈↓ ∧h␈εα,␈αthe␈α
exact␈α
value␈αof␈α
the␈αdeterminan␈α␈t␈α
can␈αbe␈α
found␈αas
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαexplained␈α	in␈α
Section␈α
4.3.2,␈α
since␈α
Hadamard's␈α
inequality␈α	(4.6.1↑25)␈α
giv␈α␈es␈α
an␈α	upper
␈ββU␈↓ ↓H␈εαbound␈αon␈αthe␈αmagnitude.
␈β∧	␈↓ α␈εαThe␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∂of␈α∞the␈ε∂␈α∞characteristic␈α∂polynomial␈↓ λ→␈εαdet␈↓ λK␈εα(␈↓ λW␈ελx␈↓ λj␈ελI␈↓ 	∧␈ε⊗␈␈↓ 	1␈ελX␈↓ 	O␈εα)␈α∞of␈α∂an␈↓ 
J␈ελn␈↓ 
i␈ε⊗α␈↓ ↔␈ελn
␈β∧/␈↓ ε→␈ε¬3
␈β∧4␈↓ ↓H␈εαmatrix␈↓ α;␈ελX␈↓ αb␈εαcan␈α	also␈α	be␈α	computed␈α	in␈↓ ¬]␈ελO␈↓ ¬w␈εα(␈↓ εβ␈ελn␈↓ ε'␈εα)␈α	steps;␈α
cf.␈α
J.␈α	H.␈α	Wilkinson,␈ε∂␈α	The␈α	Algebraic
␈β∧←␈↓ ↓H␈ε∂Eigen␈α␈value␈αProblem␈εα␈α(Oxford:␈αClarendon␈αPress,␈α1965),␈α353↑355,␈α410↑411.
␈β¬∪␈↓ α␈εαThe␈ε∂␈α
permanen␈α␈t␈εα␈αof␈α
a␈αmatrix␈α
is␈αa␈α
polynomial␈αthat␈α
is␈αv␈α␈ery␈α
similar␈αto␈α
the␈α
deter-
␈β¬>␈↓ ↓H␈εαminan␈α␈t;␈αthe␈αonly␈αdi{erence␈αis␈αthat␈αall␈αof␈αits␈αnonzero␈αcoe}cien␈α␈ts␈αare␈α+1:
␈β¬i␈↓ ∧'␈ε↓0␈↓ ε↔␈ε↓1
␈β¬{␈↓ ∧?␈ελx␈↓ ¬∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈ελx
␈βελ␈↓ ∧P␈ε¬11␈↓ ¬s␈ε¬1␈↓ ε↓␈εn
␈βε⊃␈↓ εg␈ε↓X
␈βε≥␈↓ ∧Q␈εα.␈↓ ¬t␈εα.
␈βε*␈↓ ∧'␈ε↓@␈↓ ε↔␈ε↓A
␈βε,␈↓ ∧Q␈εα.␈↓ ¬t␈εα.
␈βε4␈↓ βu␈εαper␈↓ ε9␈εα=␈↓ π!␈ελx␈↓ πV␈ελx␈↓ λ∩␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λB␈ελx␈↓ 
p␈εα(33)
␈βε:␈↓ ∧Q␈εα.␈↓ ¬t␈εα.
␈βεA␈↓ π1␈ε¬1␈↓ π@␈εj␈↓ πg␈ε¬2␈↓ πu␈εj␈↓ λR␈εn␈↓ λd␈εj
␈βεJ␈↓ πK␈επ1␈↓ λ␈επ2␈↓ λo␈ε
n
␈βεe␈↓ ∧?␈ελx␈↓ ¬∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈ελx
␈βεs␈↓ ∧P␈εn␈↓ ∧b␈ε¬1␈↓ ¬s␈εn␈↓ ε¬␈εn
␈βπ+␈↓ ↓H␈εαsummed␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
all␈α
perm␈α␈utations␈↓ ¬)␈ελj␈↓ ¬J␈ελj␈↓ ¬l␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε≤␈ελj␈↓ εE␈εαof␈ε⊗␈α
f␈εα1,␈αε2,␈↓ πC␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πs␈εα,␈↓ λβ␈ελn␈↓ λ→␈ε⊗g␈εα.␈αNo␈α
way␈α
to␈α
evaluate␈α
the
␈βπ9␈↓ ¬6␈ε¬1␈↓ ¬W␈ε¬2␈↓ ε)␈εn
␈βπW␈↓ ↓H␈εαpermanen␈α␈t␈απas␈αλe}cien␈α␈tly␈αλas␈αλthe␈αλdeterminan␈α␈t␈απis␈αλkno␈α␈wn;␈α	ex␈α␈ercises␈αλ9␈αλand␈αλ10␈αλsho␈α␈w␈απthat
␈βλα␈↓ ↓H␈εαsubstan␈α␈tially␈α
less␈α∞than␈↓ ∧8␈ελn␈↓ ∧M␈εα!␈α∞operations␈α∞will␈α∞su}ce,␈α∞for␈α
large␈↓ λf␈ελn␈↓ λ|␈εα,␈α∞but␈α∞the␈α
ex␈α␈ecution
␈βλ-␈↓ ↓H␈εαtime␈αof␈αall␈αkno␈α␈wn␈αmethods␈αstill␈αgro␈α␈ws␈αexponen␈α␈tially␈αwith␈αthe␈αsize␈αof␈αthe␈αmatrix.
␈βλa␈↓ α␈εαAnother␈α
fundamen␈α␈tal␈α	operation␈α
in␈α␈v␈α␈olving␈α	matrices␈α	is,␈α
of␈α
course,␈ε∂␈α
matrix␈α	m␈α␈ul-
␈β	␈↓ ↓H␈ε∂tiplication:␈εα␈α_If␈↓ β-␈ελX␈↓ βU␈εα=␈α
(␈↓ ∧∂␈ελx␈↓ ∧8␈εα)␈αis␈αan␈↓ ¬%␈ελm␈↓ ¬L␈ε⊗α␈↓ ¬w␈ελn␈↓ ε_␈εαmatrix,␈↓ π_␈ελY␈↓ π=␈εα=␈α
(␈↓ πw␈ελy␈↓ λ$␈εα)␈αis␈αan␈↓ 	⊂␈ελn␈↓ 	-␈ε⊗α␈↓ 	X␈ελs␈↓ 	s␈εαmatrix,␈αand
␈β	→␈↓ ∧ ␈εi␈↓ ∧+␈εj␈↓ λλ␈εj␈↓ λ∃␈εk
␈β	7␈↓ ↓H␈ελZ␈↓ ↓k␈εα=␈α
(␈↓ α%␈ελz␈↓ αK␈εα)␈αis␈αan␈↓ β9␈ελm␈↓ βa␈ε⊗α␈↓ ∧
␈ελs␈↓ ∧(␈εαmatrix,␈αthen␈↓ ¬z␈ελZ␈↓ ε≥␈εα=␈↓ εK␈ελX␈↓ εi␈ελY␈↓ π⊂␈εαmeans␈αthat
␈β	E␈↓ α1␈εi␈↓ α<␈εk
␈β	a␈↓ ∧_␈ε↓X
␈β
∧␈↓ β!␈ελz␈↓ βQ␈εα=␈↓ ∧l␈ελx␈↓ ¬~␈ελy␈↓ ¬G␈εα,␈↓ ε∨1␈ε⊗␈α
∀␈↓ εi␈ελi␈↓ π↓␈ε⊗∀␈↓ π/␈ελm␈↓ πN␈εα,␈↓ λ&1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λp␈ελk␈↓ 	␈ε⊗∀␈↓ 	:␈ελs␈↓ 	I␈εα.␈↓ 
p␈εα(34)
␈β
⊃␈↓ β-␈εi␈↓ β8␈εk␈↓ ∧⎇␈εi␈↓ ¬λ␈εj␈↓ ¬+␈εj␈↓ ¬8␈εk
␈β
5␈↓ β␈␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ∧*␈εj␈↓ ∧7␈ε→∀␈↓ ∧T␈εn
␈β
b␈↓ ↓H␈εαThis␈αequation␈αmay␈αbe␈αregarded␈αas␈αthe␈αcomputation␈αof␈↓ λ%␈ελm␈↓ λE␈ελs␈↓ λ`␈εαsim␈α␈ultaneous␈αpolyno-
␈β
␈↓ ↓H␈εαmials␈α∞in␈↓ αT␈ελm␈↓ αt␈ελn␈↓ β∪␈εα+␈↓ β@␈ελn␈↓ βV␈ελs␈↓ βs␈εαvariables;␈α∂each␈α∞polynomial␈α∞is␈α∞the␈α∞\inner␈α∞product"␈α∂of␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈↓ ␈ελn␈↓  ␈εα-
␈β8␈↓ ↓H␈εαplace␈α
v␈α␈ectors.␈α∂A␈α
brute-force␈α
calculation␈α∞w␈α␈ould␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈↓ λ+␈ελm␈↓ λK␈ελn␈↓ λ`␈ελs␈↓ λ|␈εαm␈α␈ultiplications␈α
and
␈βd␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓g␈ελs␈↓ ↓v␈εα(␈↓ αα␈ελn␈↓ α∨␈ε⊗␈␈εα␈απ1)␈αadditions;␈αbut␈αS.␈αWinograd␈αhas␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αan␈αingenious␈αway␈αto␈αtrade
␈β∂␈↓ ↓H␈εαabout␈αhalf␈αof␈αthe␈αm␈α␈ultiplications␈αfor␈αadditions:
␈β:␈↓ βN␈ε↓X
␈β]␈↓ αH␈ελz␈↓ αx␈εα=␈↓ ∧*␈εα(␈↓ ∧6␈ελx␈↓ ∧⎇␈εα+␈↓ ¬)␈ελy␈↓ ε≥␈εα)(␈↓ ε5␈ελx␈↓ π'␈εα+␈↓ πS␈ελy␈↓ λ≠␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λ[␈ελa␈↓ 	␈ε⊗␈␈↓ 	,␈ελb␈↓ 	O␈εα+␈↓ 	{␈ελc␈↓ 
"␈εα;
␈βj␈↓ αT␈εi␈↓ α←␈εk␈↓ ∧F␈εi␈↓ ∧R␈ε¬,2␈↓ ∧h␈εj␈↓ ¬?␈ε¬2␈↓ ¬N␈εj␈↓ ¬[␈ε→␈␈ε¬1,␈↓ ε∞␈εk␈↓ εE␈εi␈↓ εQ␈ε¬,2␈↓ εg␈εj␈↓ εt␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πi␈ε¬2␈↓ πx␈εj␈↓ λ¬␈ε¬,␈↓ λ
␈εk␈↓ λl␈εi␈↓ 	9␈εk␈↓ 
λ␈εi␈↓ 
∀␈εk
␈β
∞␈↓ β&␈ε¬1␈ε→∀␈↓ βQ␈εj␈↓ β↑␈ε→∀␈↓ β{␈εn␈↓ ∧
␈ε¬/2
␈β
3␈↓ βp␈ε↓X␈↓ πU␈ε↓X
␈β
V␈↓ αt␈ελa␈↓ β~␈εα=␈↓ ∧R␈ελx␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ε↓␈εα;␈↓ εY␈ελb␈↓ ε␈␈εα=␈↓ λ7␈ελy␈↓ 	/␈ελy␈↓ 	w␈εα;
␈β
d␈↓ β∧␈εi␈↓ ∧b␈εi␈↓ ∧n␈ε¬,2␈↓ ¬∧␈εj␈↓ ¬'␈εi␈↓ ¬2␈ε¬,2␈↓ ¬I␈εj␈↓ ¬V␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εf␈εk␈↓ λL␈ε¬2␈↓ λ[␈εj␈↓ λh␈ε→␈␈ε¬1,␈↓ 	≠␈εk␈↓ 	D␈ε¬2␈↓ 	S␈εj␈↓ 	`␈ε¬,␈↓ 	h␈εk
␈β∞λ␈↓ βH␈ε¬1␈ε→∀␈↓ βs␈εj␈↓ ∧␈ε→∀␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ∧/␈ε¬/2␈↓ π-␈ε¬1␈ε→∀␈↓ πX␈εj␈↓ πe␈ε→∀␈↓ λα␈εn␈↓ λ∀␈ε¬/2
␈β∞H␈↓ ¬K␈ε↓~
␈β∞K␈↓ π∩␈ελn␈↓ π4␈εαev␈α␈en;
␈β∞L␈↓ ¬a␈εα0,
␈β∞b␈↓ ∧k␈ελc␈↓ ¬≥␈εα=␈↓ 
p␈εα(35)
␈β∞o␈↓ ∧x␈εi␈↓ ¬∧␈εk
␈β∞w␈↓ π∩␈ελn␈↓ π4␈εαodd.
␈β∞x␈↓ ¬a␈ελx␈↓ ε∞␈ελy␈↓ ε@␈εα,
␈β∂¬␈↓ ¬q␈εi␈↓ ¬⎇␈εn␈↓ ε∨␈εn␈↓ ε1␈εk
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαThis␈α⊂scheme␈α⊂uses␈ε⊗␈α⊂d␈↓ β|␈ελn␈↓ ∧∩␈εα/2␈ε⊗e␈↓ ∧D␈ελm␈↓ ∧d␈ελs␈↓ ∧⎇␈εα+␈ε⊗␈αb␈↓ ¬:␈ελn␈↓ ¬P␈εα/2␈ε⊗c␈εα(␈↓ ε∞␈ελm␈↓ ε8␈εα+␈↓ εg␈ελs␈↓ εv␈εα)␈α⊂m␈α␈ultiplications␈α⊃and␈α⊂(␈↓ 	b␈ελn␈↓ 
α␈εα+␈α2)␈↓ 
O␈ελm␈↓ 
o␈ελs␈↓ λ␈εα+
␈β∂o␈↓ ↓H␈εα(␈ε⊗b␈↓ ↓b␈ελn␈↓ ↓w␈εα/2␈ε⊗c␈αλ␈␈εα␈αλ1)␈↓ α{␈εα(␈↓ βπ␈ελm␈↓ β'␈ελs␈↓ β>␈εα+␈↓ βj␈ελm␈↓ ∧∩␈εα+␈↓ ∧>␈ελs␈↓ ∧M␈εα)␈↓ ∧a␈εαadditions;␈α
the␈αλtotal␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈α	operations␈αλhas␈αλincreased
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαsligh␈α␈tly,␈α
but␈α∞the␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α∞m␈α␈ultiplications␈α
has␈α
roughly␈α∞been␈α
halv␈α␈ed.␈α⊂This␈α
con-
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαstruction␈α∞led␈α∞man␈α␈y␈α∞people␈α∞to␈α∞look␈α∞more␈α∞closely␈α∞at␈α∞the␈α∞problem␈α∞of␈α∞matrix␈α∞m␈α␈ul-
␈β⊂l␈↓ 	↓␈ε¬3
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαtiplication,␈α⊂and␈α⊂for␈α⊂sev␈α␈eral␈α∂y␈α␈ears␈α⊂it␈α⊂was␈α∂conjectured␈α⊂that␈↓ λl␈ελn␈↓ 	⊂␈εα/2␈α∂m␈α␈ultiplications
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈αbe␈αnecessary␈αto␈αm␈α␈ultiply␈↓ ¬>␈ελn␈↓ ¬[␈ε⊗α␈↓ επ␈ελn␈↓ ε)␈εαmatrices.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα464␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα(␈↓ α␈εαAn␈αev␈α␈en␈α
better␈αscheme␈αfor␈α
large␈↓ επ␈ελn␈↓ ε≤␈εα,␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αby␈αVolk␈α␈er␈α
Strassen␈αin␈α1968,␈α
is
␈βαS␈↓ ↓H␈εαbased␈α
on␈αthe␈αfact␈αthat␈αthe␈αproduct␈αof␈α
2␈ε⊗␈απα␈εα␈αε2␈αmatrices␈αcan␈αbe␈αevaluated␈αwith␈α
only
␈βα}␈↓ ↓H␈εα7␈α
m␈α␈ultiplications,␈α
without␈α
relying␈α
on␈α
the␈α
comm␈α␈utativity␈α
of␈α
m␈α␈ultiplication␈αas␈α
in
␈ββ*␈↓ ↓H␈εα(35).␈αTherefore␈αλ2␈↓ βK␈ελn␈↓ βe␈ε⊗α␈εα␈α∧2␈↓ ∧∨␈ελn␈↓ ∧=␈εαmatrices␈α	can␈α	be␈α	partitioned␈α	in␈α␈to␈αλfour␈↓ λ{␈ελn␈↓ 	∃␈ε⊗α␈↓ 	<␈ελn␈↓ 	[␈εαmatrices,␈α	and
␈ββP␈↓ λg␈εk␈↓ 	<␈εk
␈ββU␈↓ ↓H␈εαthe␈αidea␈αcan␈αbe␈αused␈αrecursiv␈α␈ely␈αto␈αobtain␈αthe␈αproduct␈αof␈↓ λU␈εα2␈↓ λ}␈ε⊗α␈↓ 	*␈εα2␈↓ 	V␈εαmatrices␈αwith
␈ββ{␈↓ α+␈εk␈↓ εβ␈εk␈↓ ε≥␈ε¬3␈↓ εy␈εk
␈β∧␈↓ ↓H␈εαonly␈↓ α→␈εα7␈↓ αF␈εαm␈α␈ultiplications␈α
instead␈α
of␈α∞(␈↓ ¬q␈εα2␈↓ ε⊃␈εα)␈↓ ε7␈εα=␈↓ εg␈εα8␈↓ πλ␈εα.␈α∂Strassen's␈α
original␈α
2␈ε⊗␈α	α␈εα␈αλ2␈α
iden␈α␈tity
␈β∧+␈↓ ↓H␈εα[␈ε∂Numer.␈α
Math.␈ε∩␈α∞13␈εα␈α∞(1969),␈α∂354↑356]␈α
used␈α∞7␈α∞m␈α␈ultiplications␈α∞and␈α∞18␈α∞additions;␈α∞S.
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαWinograd␈αlater␈αdisco␈α␈v␈α␈ered␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αmore␈αeconomical␈αform␈α␈ula:
␈β¬→␈↓ ↓H␈ε↓∩␈↓ α#␈ε↓∪␈↓ α9␈ε↓∩␈↓ β"␈ε↓∪
␈β¬ ␈↓ ↓b␈ε	a␈↓ α∂␈ε	b␈↓ αS␈ε	A␈↓ ββ␈ε	C
␈β¬6␈↓ βB␈εβ=
␈β¬O␈↓ ↓c␈ε	c␈↓ α␈ε	d␈↓ αS␈ε	B␈↓ β∧␈ε	D
␈βε	␈↓ ↓O␈ε↓∩␈↓ 
T␈ε↓∪
␈βε␈↓ λ↓␈ε⊗␈␈↓ 	A␈ε⊗␈␈↓ 	r␈ε⊗␈
␈βε∂␈↓ βG␈ε	a␈↓ βW␈ε	A␈↓ βu␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	b␈↓ ∧,␈ε	B␈↓ ε:␈ε	w␈↓ εZ␈εβ+␈α	(␈↓ π∂␈ε	c␈↓ π≤␈εβ+␈↓ π=␈ε	d␈↓ πP␈εβ)(␈↓ πf␈ε	C␈↓ λ%␈ε	A␈↓ λ;␈εβ)␈αλ+␈αλ(␈↓ 	α␈ε	a␈↓ 	∪␈εβ+␈↓ 	4␈ε	b␈↓ 	e␈ε	c␈↓ 
⊗␈ε	d␈↓ 
)␈εβ)␈↓ 
7␈ε	D
␈βε#␈↓ 
p␈εα(36)
␈βε;␈↓ αO␈ε⊗␈␈↓ β/␈ε⊗␈␈↓ ∧↓␈ε⊗␈␈↓ ∧a␈ε⊗␈␈↓ ¬≠␈ε⊗␈␈↓ π)␈ε⊗␈␈↓ λ	␈ε⊗␈␈↓ 
↓␈ε⊗␈
␈βε>␈↓ ↓i␈ε	w␈↓ α
␈εβ+␈α	(␈↓ α?␈ε	a␈↓ αs␈ε	c␈↓ β␈εβ)(␈↓ β⊗␈ε	D␈↓ βS␈ε	C␈↓ βn␈εβ)␈↓ ∧-␈ε	d␈↓ ∧@␈εβ(␈↓ ∧K␈ε	A␈↓ ¬¬␈ε	B␈↓ ¬?␈ε	C␈↓ ¬Z␈εβ+␈↓ ¬|␈ε	D␈↓ ε∃␈εβ)␈↓ εC␈ε	w␈↓ εd␈εβ+␈αλ(␈↓ π→␈ε	a␈↓ πM␈ε	c␈↓ πZ␈εβ)(␈↓ πp␈ε	D␈↓ λ-␈ε	C␈↓ λH␈εβ)␈αλ+␈αλ(␈↓ 	⊂␈ε	c␈↓ 	≥␈εβ+␈↓ 	>␈ε	d␈↓ 	P␈εβ)(␈↓ 	g␈ε	C␈↓ 
%␈ε	A␈↓ 
<␈εβ)
␈βπα␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελw␈↓ αT␈εα=␈↓ βα␈ελa␈↓ β∀␈ελA␈↓ β3␈ε⊗␈␈εα␈απ(␈↓ βj␈ελa␈↓ β|␈ε⊗␈␈↓ ∧ ␈ελc␈↓ ∧.␈ε⊗␈␈↓ ∧R␈ελd␈↓ ∧f␈εα)(␈↓ ∧}␈ελA␈↓ ¬⊗␈ε⊗␈␈↓ ¬:␈ελC␈↓ ¬W␈εα+␈↓ ¬{␈ελD␈↓ ε⊗␈εα).␈αIf␈αin␈α␈termediate␈αresults␈αare␈αappropriately
␈βπ-␈↓ ↓H␈εαsav␈α␈ed,␈α(36)␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α7␈α
m␈α␈ultiplications␈αand␈α
only␈α15␈α
additions;␈αby␈α
induction␈αon␈↓ ⊃␈ελk␈↓ "␈εα,
␈βπS␈↓ βX␈εk␈↓ ∧#␈εk␈↓ ε(␈εk␈↓ 	$␈εk␈↓ 	o␈εk
␈βπX␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αλcan␈α	m␈α␈ultiply␈↓ βF␈εα2␈↓ βj␈ε⊗α␈↓ ∧⊃␈εα2␈↓ ∧;␈εαmatrices␈αλwith␈↓ ε⊗␈εα7␈↓ ε?␈εαm␈α␈ultiplications␈α	and␈α	5(␈↓ 	∩␈εα7␈↓ 	6␈ε⊗␈␈↓ 	]␈εα4␈↓ 	}␈εα)␈αλadditions.
␈βλβ␈↓ ↓H␈εαThe␈α
total␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αoperations␈α
needed␈αto␈αm␈α␈ultiply␈↓ πl␈ελn␈↓ λλ␈ε⊗α␈↓ λ3␈ελn␈↓ λS␈εαmatrices␈αhas␈α
therefore
␈βλ*␈↓ ∧i␈ε¬3␈↓ ¬k␈ε¬lg␈↓ εε␈ε¬7␈↓ π∀␈ε¬2.8␈α↓07␈α↓4
␈βλ/␈↓ ↓H␈εαbeen␈αreduced␈αfrom␈αorder␈↓ ∧T␈ελn␈↓ ¬β␈εαto␈↓ ¬/␈ελO␈↓ ¬I␈εα(␈↓ ¬U␈ελn␈↓ ε∀␈εα)␈α
=␈↓ εX␈ελO␈↓ εr␈εα(␈↓ ε}␈ελn␈↓ πd␈εα).␈αA␈αsimilar␈αreduction␈αapplies
␈βλZ␈↓ ↓H␈εαalso␈αto␈αthe␈αevaluation␈αof␈αdeterminan␈α␈ts␈αand␈αmatrix␈αin␈α␈v␈α␈erses;␈αcf.␈αJ.␈αR.␈αBunch␈αand
␈β	¬␈↓ ↓H␈εαJ.␈αE.␈αHopcroft,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α28␈εα␈α(1974),␈α231↑236.␈αEx␈α␈ercise␈α59␈αdiscusses␈αa␈αfurther
␈β	0␈↓ ↓H␈εαimpro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α∂by␈α⊂V.␈α⊂J.␈α⊂Pan,␈α⊃who␈α⊂disco␈α␈v␈α␈ered␈α∂in␈α⊂1978␈α⊂that␈α⊂the␈α⊂exponen␈α␈t␈α⊂in␈α∂the
␈β	[␈↓ ↓H␈εαrunning␈αtime␈αcan␈αbe␈αreduced␈αto␈αless␈αthan␈↓ εZ␈εαlg␈↓ ε|␈εα7.
␈β
π␈↓ α␈εαThese␈αtheoretical␈αresults␈αare␈αquite␈αstriking,␈αbut␈αfrom␈αa␈αpractical␈αstandpoin␈α␈t
␈β
2␈↓ ↓H␈εαthey␈α∂are␈α∂of␈α∂limited␈α∂use␈α∂because␈↓ ¬O␈ελn␈↓ ¬s␈εαm␈α␈ust␈α⊂be␈α∂v␈α␈ery␈α∂large␈α∂before␈α∂w␈α␈e␈α∂o␈α␈v␈α␈ercome␈α∂the
␈β
]␈↓ ↓H␈εαe{ect␈απof␈απadditional␈απbookk␈α␈eeping␈απcosts.␈αRichard␈απBren␈α␈t␈απ[Stanford␈απComputer␈απScience
␈βλ␈↓ ↓H␈εαreport␈απCS157␈απ(March,␈αλ1970),␈αλsee␈απalso␈ε∂␈απNumer.␈απMath.␈ε∩␈απ16␈εα␈αε(1970),␈αλ145↑156]␈απfound␈απthat
␈β3␈↓ ↓H␈εαa␈α∂careful␈α∂implemen␈α␈tation␈α∂of␈α∂Winograd's␈α∂scheme␈α∂(35),␈α∂with␈α∂appropriate␈α∂scaling
␈β←␈↓ ↓H␈εαfor␈αn␈α␈umerical␈α
stability,␈αbecame␈α
better␈αthan␈α
the␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈α
scheme␈αonly␈αwhen
␈β
␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓g␈ε⊗∃␈εα␈α
40,␈αand␈αit␈αsav␈α␈ed␈α7␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αrunning␈αtime␈αwhen␈↓ λN␈ελn␈↓ λn␈εα=␈α
100.␈αFor␈αcomplex
␈β5␈↓ ↓H␈εαarithmetic␈αthe␈α
situation␈α
was␈α
somewhat␈αdi{eren␈α␈t;␈α
(35)␈α
became␈α
advan␈α␈tageous␈αfor
␈β`␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓n␈εα>␈α⊃20,␈α⊃and␈α⊂sav␈α␈ed␈α⊂18␈α⊂percen␈α␈t␈α⊂when␈↓ ε,␈ελn␈↓ εR␈εα=␈α⊃100.␈α↔He␈α⊂estimated␈α⊂that␈α⊂Strassen's
␈β
␈↓ ↓H␈εαscheme␈α∞w␈α␈ould␈α∂not␈α∞begin␈α∂to␈α∞ex␈α␈cel␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∞(35)␈α∂un␈α␈til␈↓ πS␈ελn␈↓ πw␈ε⊗→␈εα␈α∂250;␈α∂and␈α∂such␈α∞enormous
␈β
7␈↓ ↓H␈εαmatrices,␈α∂con␈α␈taining␈α∂more␈α∂than␈α∞60,000␈α∂en␈α␈tries,␈α∂rarely␈α∂occur␈α∂in␈α∂practice␈α∞(unless
␈β
b␈↓ ↓H␈εαthey␈αare␈αv␈α␈ery␈αsparse,␈αwhen␈αother␈αtechniques␈αapply).
␈β∞∃␈↓ α␈εαBy␈αcon␈α␈trast,␈αthe␈αmethods␈α
w␈α␈e␈αshall␈αdiscuss␈αnext␈αare␈αeminen␈α␈tly␈αpractical␈αand
␈β∞@␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αλfound␈α	wide␈αλuse.␈αThe␈ε∂␈α	|nite␈αλFourier␈α	transform␈↓ πQ␈ελf␈↓ πk␈εαof␈αλa␈α	complex-valued␈αλfunction
␈β∞k␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓l␈εαof␈↓ α⊗␈ελn␈↓ α7␈εαvariables,␈αo␈α␈v␈α␈er␈αrespectiv␈α␈e␈αdomains␈αof␈↓ π∧␈ελm␈↓ π1␈εα,␈↓ πG␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πw␈εα,␈↓ λ
␈ελm␈↓ λI␈εαelemen␈α␈ts,␈αis␈αde|ned␈αby
␈β∞y␈↓ π#␈ε¬1␈↓ λ+␈εn
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαthe␈αequation
␈β∂P␈↓ β←␈ε↓X
␈β∂Y␈↓ ¬¬␈ε↓∩␈↓ ¬O␈ε↓∩␈↓ πu␈ε↓∪␈↓ λ␈ε↓∪
␈β∂]␈↓ ¬i␈ελs␈↓ ε∧␈ελt␈↓ π7␈ελs␈↓ πU␈ελt
␈β∂j␈↓ ¬u␈ε¬1␈↓ ε∞␈ε¬1␈↓ πC␈εn␈↓ π`␈εn
␈β∂t␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελs␈↓ ↓␈␈εα,␈↓ α∂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α?␈εα,␈↓ αO␈ελs␈↓ αm␈εα)␈α
=␈↓ ∧G␈εαexp␈↓ ¬≠␈εα2␈↓ ¬-␈ελ→␈↓ ¬A␈ελi␈↓ ε)␈εα+␈↓ εU␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ππ␈εα+␈↓ λ'␈ελF␈↓ λA␈εα(␈↓ λM␈ελt␈↓ λf␈εα,␈↓ λv␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	&␈εα,␈↓ 	6␈ελt␈↓ 	S␈εα)␈↓ 
p␈εα(37)
␈β⊂↓␈↓ ↓q␈ε¬1␈↓ α[␈εn␈↓ λW␈ε¬1␈↓ 	A␈εn
␈β⊂∧␈↓ ¬i␈∧⊂∧¬iα4␈↓ π7␈∧⊂∧π7α;
␈β⊂␈↓ ¬m␈ελm␈↓ π<␈ελm
␈β⊂→␈↓ ε␈ε¬1␈↓ πZ␈εn
␈β⊂#␈↓ β9␈ε¬0␈ε→∀␈↓ βd␈εt␈↓ βx␈ε¬<␈↓ ∧∃␈εm
␈β⊂,␈↓ βm␈επ1␈↓ ∧/␈επ1
␈β⊂8␈↓ βh␈ε→↓␈α¬↓␈α¬↓
␈β⊂N␈↓ β4␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ β`␈εt␈↓ βx␈ε¬<␈↓ ∧∃␈εm
␈β⊂V␈↓ βi␈ε
n␈↓ ∧/␈ε
n
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ αM␈ελs␈↓ αs␈εα<␈↓ β"␈ελm␈↓ βO␈εα,␈↓ βf␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⊗␈εα,␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ ∧z␈ελs␈↓ ¬#␈εα<␈↓ ¬S␈ελm␈↓ εβ␈εα;␈α
the␈α
name␈α
\transform"␈α
is␈α
justi|ed␈αbecause
␈β⊂|␈↓ αY␈ε¬1␈↓ βA␈ε¬1␈↓ ¬ε␈εn␈↓ ¬q␈εn
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αreco␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αvalues␈↓ ∧g␈ελF␈↓ ¬↓␈εα(␈↓ ¬
␈ελt␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬f␈εα,␈↓ ¬v␈ελt␈↓ ε∪␈εα)␈αfrom␈αthe␈αvalues␈↓ λ-␈ελf␈↓ λ?␈εα(␈↓ λK␈ελs␈↓ λe␈εα,␈↓ λu␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	%␈εα,␈↓ 	5␈ελs␈↓ 	S␈εα),␈αas␈αsho␈α␈wn␈αin
␈β⊃(␈↓ ¬_␈ε¬1␈↓ ε↓␈εn␈↓ λW␈ε¬1␈↓ 	A␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα465
␈βα%␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α13.␈αIn␈αthe␈αimportan␈α␈t␈αspecial␈αcase␈αthat␈αall␈↓ πZ␈ελm␈↓ λ∂␈εα=␈α
2,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βα2␈↓ πx␈εj
␈βα↑␈↓ ¬;␈ε↓X
␈βα|␈↓ εy␈εs␈↓ π∂␈εt␈↓ π#␈ε¬+␈↓ π@␈ε→↓↓↓␈↓ πX␈ε¬+␈↓ πu␈εs␈↓ λ∂␈εt
␈ββα␈↓ β⊗␈ελf␈↓ β'␈εα(␈↓ β3␈ελs␈↓ βM␈εα,␈↓ β]␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧
␈εα,␈↓ ∧≥␈ελs␈↓ ∧;␈εα)␈α
=␈↓ ε+␈εα(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ εm␈εα)␈↓ λ'␈ελF␈↓ λA␈εα(␈↓ λM␈ελt␈↓ λf␈εα,␈↓ λv␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	&␈εα,␈↓ 	6␈ελt␈↓ 	R␈εα)␈↓ 
p␈εα(38)
␈ββ∧␈↓ πβ␈επ1␈↓ π_␈επ1␈↓ π␈␈ε
n␈↓ λ_␈ε
n
␈ββ∂␈↓ β?␈ε¬1␈↓ ∧)␈εn␈↓ λW␈ε¬1␈↓ 	A␈εn
␈ββ3␈↓ ∧␈␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬*␈εt␈↓ ¬?␈ε¬,␈↓ ¬G␈ε¬...␈↓ ¬←␈ε¬,␈↓ ¬g␈εt␈↓ ε␈ε→∀␈ε¬1
␈ββ<␈↓ ¬4␈επ1␈↓ ¬p␈ε
n
␈ββv␈↓ ↓H␈εαfor␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ αO␈ελs␈↓ αj␈εα,␈↓ αz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β*␈εα,␈↓ β:␈ελs␈↓ βd␈ε⊗∀␈εα␈α1,␈α
and␈α∞this␈α
may␈α
be␈α
regarded␈α∞as␈α
a␈α
sim␈α␈ultaneous␈α
evaluation
␈β∧β␈↓ α[␈ε¬1␈↓ βF␈εn
␈β∧≤␈↓ απ␈εn␈↓ ¬~␈εn
␈β∧!␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓u␈εα2␈↓ α(␈εαlinear␈α⊂polynomials␈α∂in␈↓ ¬λ␈εα2␈↓ ¬;␈εαvariables␈↓ εW␈ελF␈↓ εp␈εα(␈↓ ε|␈ελt␈↓ π∃␈εα,␈↓ π%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πU␈εα,␈↓ πe␈ελt␈↓ λα␈εα).␈α⊗A␈α∂w␈α␈ell-kno␈α␈wn␈α∂technique
␈β∧/␈↓ ππ␈ε¬1␈↓ πp␈εn
␈β∧L␈↓ ↓H␈εαdue␈α
to␈α
F.␈αYates␈α
[␈ε∂The␈α
Design␈αand␈α
Analysis␈α
of␈αFactorial␈α
Experimen␈α␈ts␈εα␈α
(Harpenden:
␈β∧x␈↓ ↓H␈εαImperial␈α
Bureau␈αof␈α
Soil␈αSciences,␈α1937)]␈αcan␈α
be␈αused␈α
to␈αreduce␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
ad-
␈β¬≡␈↓ ¬␈εn␈↓ ¬:␈εn␈↓ εr␈εn
␈β¬#␈↓ ↓H␈εαditions␈α	implied␈α	in␈α
(38)␈α	from␈↓ ∧y␈εα2␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈εα2␈↓ ¬Q␈ε⊗␈␈εα␈α∧1)␈α
to␈↓ εJ␈ελn␈↓ ε`␈εα2␈↓ π∧␈εα.␈αYates's␈α	method␈α
can␈α	be␈α	understood
␈β¬N␈↓ ↓H␈εαby␈αconsidering␈αthe␈αcase␈↓ ∧B␈ελn␈↓ ∧a␈εα=␈α
3:␈αLet␈↓ ¬y␈ελx␈↓ εR␈εα=␈↓ π␈ελF␈↓ π→␈εα(␈↓ π%␈ελt␈↓ π>␈εα,␈↓ πN␈ελt␈↓ πg␈εα,␈↓ πw␈ελt␈↓ λ⊂␈εα).
␈β¬[␈↓ ε
␈εt␈↓ ε≡␈εt␈↓ ε3␈εt␈↓ π0␈ε¬1␈↓ πY␈ε¬2␈↓ λα␈ε¬3
␈β¬d␈↓ ε∪␈επ1␈↓ ε(␈επ2␈↓ ε<␈επ3
␈βε ␈↓ ↓H␈εεG␈α␈iven␈↓ αQ␈εεFir␈α␈st␈αλstep␈↓ ∧R␈εεSe␈α↓co␈α␈nd␈α	st␈α␈e␈α↓p␈↓ λM␈εεT␈α↓hir␈α␈d␈α	st␈α␈e␈α↓p
␈βεI␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε¬+␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε¬+␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε¬+␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε¬+␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε¬+␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε¬+␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε¬+␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε¬+␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε¬+␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε¬+␈↓ 
|␈εx
␈βεR␈↓ ↓V␈επ000␈↓ αV␈επ000␈↓ β#␈επ001␈↓ ∧↔␈επ000␈↓ ∧c␈επ0␈α↓01␈↓ ¬0␈επ01␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ01␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βεm␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε¬+␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε¬+␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε¬+␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε→␈␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε¬+␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε→␈␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε¬+␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε→␈␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε¬+␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε→␈␈↓ 
|␈εx
␈βεv␈↓ ↓V␈επ001␈↓ αV␈επ010␈↓ β#␈επ011␈↓ ∧↔␈επ100␈↓ ∧c␈επ1␈α↓01␈↓ ¬0␈επ11␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ11␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε¬+␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε→␈␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε→␈␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε¬+␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε→␈␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε→␈␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε¬+␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε¬+␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε→␈␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε→␈␈↓ 
|␈εx
␈βπ~␈↓ ↓V␈επ010␈↓ αV␈επ100␈↓ β#␈επ101␈↓ ∧↔␈επ000␈↓ ∧c␈επ0␈α↓01␈↓ ¬0␈επ01␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ01␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βπ5␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε¬+␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε→␈␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε→␈␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε→␈␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε→␈␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε¬+␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε¬+␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε→␈␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε→␈␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε¬+␈↓ 
|␈εx
␈βπ>␈↓ ↓V␈επ011␈↓ αV␈επ110␈↓ β#␈επ111␈↓ ∧↔␈επ100␈↓ ∧c␈επ1␈α↓01␈↓ ¬0␈επ11␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ11␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βπY␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε→␈␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε¬+␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε→␈␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε→␈␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε¬+␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε¬+␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε¬+␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε→␈␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε→␈␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε→␈␈↓ 
|␈εx
␈βπb␈↓ ↓V␈επ100␈↓ αV␈επ000␈↓ β#␈επ001␈↓ ∧↔␈επ000␈↓ ∧c␈επ0␈α↓01␈↓ ¬0␈επ01␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ01␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βπ⎇␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε→␈␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε¬+␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε→␈␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε→␈␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε→␈␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε¬+␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε→␈␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε¬+␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε→␈␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε¬+␈↓ 
|␈εx
␈βλε␈↓ ↓V␈επ101␈↓ αV␈επ010␈↓ β#␈επ011␈↓ ∧↔␈επ100␈↓ ∧c␈επ1␈α↓01␈↓ ¬0␈επ11␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ11␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βλ!␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε→␈␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε→␈␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε→␈␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε¬+␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε¬+␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε→␈␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε→␈␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε→␈␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε¬+␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε¬+␈↓ 
|␈εx
␈βλ*␈↓ ↓V␈επ110␈↓ αV␈επ100␈↓ β#␈επ101␈↓ ∧↔␈επ000␈↓ ∧c␈επ0␈α↓01␈↓ ¬0␈επ01␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ01␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈βλE␈↓ ↓H␈εx␈↓ αH␈εx␈↓ αx␈ε→␈␈↓ β∀␈εx␈↓ ∧λ␈εx␈↓ ∧8␈ε→␈␈↓ ∧U␈εx␈↓ ¬¬␈ε→␈␈↓ ¬"␈εx␈↓ ¬R␈ε¬+␈↓ ¬o␈εx␈↓ εc␈εx␈↓ π∪␈ε→␈␈↓ π0␈εx␈↓ π`␈ε→␈␈↓ π|␈εx␈↓ λ,␈ε¬+␈↓ λI␈εx␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εx␈↓ 	F␈ε¬+␈↓ 	c␈εx␈↓ 
∪␈ε¬+␈↓ 
0␈εx␈↓ 
`␈ε→␈␈↓ 
|␈εx
␈βλN␈↓ ↓V␈επ111␈↓ αV␈επ110␈↓ β#␈επ111␈↓ ∧↔␈επ100␈↓ ∧c␈επ1␈α↓01␈↓ ¬0␈επ11␈α↓0␈↓ ¬⎇␈επ11␈α↓1␈↓ εq␈επ000␈↓ π>␈επ001␈↓ λ␈επ010␈↓ λW␈επ0␈α↓11␈↓ 	$␈επ10␈α↓0␈↓ 	q␈επ10␈α↓1␈↓ 
>␈επ110␈↓ ␈επ111
␈β	∃␈↓ ↓H␈εαTo␈α∂get␈α∂from␈α∂the␈α⊂\Giv␈α␈en"␈α∂to␈α∂the␈α∂\First␈α∂step"␈α⊂requires␈α∂four␈α∂additions␈α∂and␈α∂four
␈β	@␈↓ ↓H␈εαsubtractions;␈α∞and␈α∞the␈α∞in␈α␈teresting␈α∞feature␈α∞of␈α∞Yates's␈α∞method␈α∞is␈α∞that␈α∞exactly␈α
the
␈β	l␈↓ ↓H␈εαsame␈α⊂transformation␈α⊂that␈α⊂tak␈α␈es␈α⊂us␈α⊂from␈α⊂\Giv␈α␈en"␈α⊂to␈α⊂\First␈α∂step"␈α⊂will␈α⊂tak␈α␈e␈α⊂us
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαfrom␈α\First␈αstep"␈αto␈α\Second␈αstep"␈αand␈αfrom␈α\Second␈αstep"␈αto␈α\Third␈αstep."␈αIn
␈β
B␈↓ ↓H␈εαeach␈αcase␈αw␈α␈e␈αdo␈αfour␈αadditions,␈αthen␈αfour␈αsubtractions;␈αand␈αafter␈αthree␈αsteps␈αw␈α␈e
␈β
m␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α
the␈α
desired␈αFourier␈α
transform␈↓ ¬r␈ελf␈↓ εβ␈εα(␈↓ ε∂␈ελs␈↓ ε*␈εα,␈↓ ε:␈ελs␈↓ εT␈εα,␈↓ εd␈ελs␈↓ ε␈␈εα)␈α
in␈α
the␈αplace␈α
originally␈α
occupied␈α
by
␈β
{␈↓ ε≠␈ε¬1␈↓ εF␈ε¬2␈↓ εp␈ε¬3
␈β_␈↓ ↓H␈ελF␈↓ ↓a␈εα(␈↓ ↓m␈ελs␈↓ απ␈εα,␈↓ α↔␈ελs␈↓ α2␈εα,␈↓ αB␈ελs␈↓ α\␈εα)!
␈β&␈↓ ↓y␈ε¬1␈↓ α#␈ε¬2␈↓ αN␈ε¬3
␈β?␈↓ 	'␈εn
␈βD␈↓ α␈εαThis␈α∞special␈α∞case␈α∞is␈α∂often␈α∞called␈α∞the␈ε∂␈α∞Walsh␈α∞transform␈εα␈α∞of␈↓ 	∃␈εα2␈↓ 	G␈εαdata␈α∞elemen␈α␈ts,
␈βo␈↓ ↓H␈εαsince␈α∞the␈α
corresponding␈α∞pattern␈α∞of␈α∞signs␈α∞was␈α∞studied␈α∞by␈α∞J.␈α∞L.␈α∞Walsh␈α∞[␈ε∂Amer.␈α
J.
␈β~␈↓ ↓H␈ε∂Math.␈ε∩␈α45␈εα␈α(1923),␈α5↑24].␈αNote␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αsign␈αchanges␈αfrom␈αleft␈αto␈αrigh␈α␈t
␈βF␈↓ ↓H␈εαin␈α∞the␈α∂\Third␈α∂step"␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∂assumes␈α∂the␈α∞respectiv␈α␈e␈α∂values␈α∂0,␈α∂7,␈α⊂3,␈α∂4,␈α∂1,␈α⊂6,␈α∂2,␈α∂5.
␈βl␈↓ λε␈εn
␈βq␈↓ ↓H␈εαWalsh␈αobserv␈α␈ed␈αthat␈αthere␈αwill␈αbe␈αexactly␈α0,␈α1,␈↓ π/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π←␈εα,␈↓ πt␈εα2␈↓ λ∨␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈αsign␈αchanges␈αin␈αsome
␈β
≤␈↓ ↓H␈εαorder␈α
in␈αthe␈α
general␈α
case,␈α
so␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
pro␈α␈vide␈α
discrete␈α
appro␈α␈ximations␈αto
␈β
G␈↓ ↓H␈εαsine␈αwav␈α␈es␈αwith␈αvarious␈αfrequencies.␈α_(See␈αH.␈αF.␈αHarm␈α␈uth,␈ε∂␈αIEEE␈αSpectrum␈ε∩␈α6␈εα,␈α11
␈β
r␈↓ ↓H␈εα(No␈α␈v.␈α⊃1969),␈α∞82↑91,␈α∞for␈α∞applications␈α∞of␈α
this␈α∞property;␈α∂and␈α
see␈α∞Section␈α∞7.2.1␈α
for
␈β∞≡␈↓ ↓H␈εαfurther␈αdiscussion␈αof␈αthe␈αWalsh␈αcoe}cien␈α␈ts.)
␈β∞I␈↓ α␈εαYates's␈α∂method␈α∞can␈α∂be␈α∂generalized␈α∞to␈α∂the␈α∂evaluation␈α∞of␈α∂an␈α␈y␈α∂|nite␈α∞Fourier
␈β∞t␈↓ ↓H␈εαtransform,␈αand,␈αin␈αfact,␈αto␈αthe␈αevaluation␈αof␈αan␈α␈y␈αsums␈αthat␈αcan␈αbe␈αwritten
␈β∂L␈↓ ↓H␈ελf␈↓ ↓Y␈εα(␈↓ ↓e␈ελs␈↓ ↓␈␈εα,␈↓ α∂␈ελs␈↓ α*␈εα,␈↓ α:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αj␈εα,␈↓ αz␈ελs␈↓ β_␈εα)␈α
=
␈β∂Z␈↓ ↓q␈ε¬1␈↓ α≠␈ε¬2␈↓ βε␈εn
␈β∂j␈↓ α`␈ε↓X
␈β⊂
␈↓ β=␈ελg␈↓ βZ␈εα(␈↓ βf␈ελs␈↓ ∧␈εα,␈↓ ∧⊂␈ελs␈↓ ∧+␈εα,␈↓ ∧;␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧k␈εα,␈↓ ∧{␈ελs␈↓ ¬→␈εα,␈↓ ¬)␈ελt␈↓ ¬B␈εα)␈↓ ¬N␈ελg␈↓ ¬j␈εα(␈↓ ¬v␈ελs␈↓ ε⊂␈εα,␈↓ ε ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εP␈εα,␈↓ ε`␈ελs␈↓ ε}␈εα,␈↓ π∞␈ελt␈↓ π(␈εα)␈↓ π:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πj␈ελg␈↓ λ
␈εα(␈↓ λ⊗␈ελs␈↓ λ3␈εα,␈↓ λC␈ελt␈↓ λ`␈εα)␈↓ λl␈ελF␈↓ 	¬␈εα(␈↓ 	⊃␈ελt␈↓ 	+␈εα,␈↓ 	;␈ελt␈↓ 	T␈εα,␈↓ 	d␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∀␈εα,␈↓ 
$␈ελt␈↓ 
@␈εα)␈α$(39)
␈β⊂~␈↓ βK␈ε¬1␈↓ βr␈ε¬1␈↓ ∧≤␈ε¬2␈↓ ¬π␈εn␈↓ ¬3␈ε¬1␈↓ ¬\␈ε¬2␈↓ εα␈ε¬2␈↓ εl␈εn␈↓ π→␈ε¬2␈↓ πx␈εn␈↓ λ"␈εn␈↓ λN␈εn␈↓ 	≤␈ε¬1␈↓ 	E␈ε¬2␈↓ 
/␈εn
␈β⊂=␈↓ α:␈ε¬0␈ε→∀␈↓ αe␈εt␈↓ αy␈ε¬<␈↓ β⊗␈εm
␈β⊂E␈↓ αn␈επ1␈↓ β0␈επ1
␈β⊂Q␈↓ αi␈ε→↓␈α¬↓␈α¬↓
␈β⊂g␈↓ α5␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ αa␈εt␈↓ αy␈ε¬<␈↓ β⊗␈εm
␈β⊂p␈↓ αj␈ε
n␈↓ β0␈ε
n
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εαfor␈α∂0␈ε⊗␈α∂∀␈↓ αX␈ελs␈↓ β↓␈εα<␈↓ β4␈ελm␈↓ β`␈εα,␈α⊂giv␈α␈en␈α∂the␈α⊂functions␈↓ ε=␈ελg␈↓ εX␈εα(␈↓ εd␈ελs␈↓ ε⎇␈εα,␈↓ π
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π=␈εα,␈↓ πM␈ελs␈↓ πk␈εα,␈↓ π{␈ελt␈↓ λ∪␈εα).␈α⊗We␈α⊂may␈α∂carry␈α∂out␈α∂the
␈β⊃&␈↓ αd␈εj␈↓ βS␈εj␈↓ εK␈εj␈↓ εp␈εj␈↓ πY␈εn␈↓ λε␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα466␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα(␈↓ ↓H␈εαevaluation␈αstep␈αby␈αstep␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βα|␈↓ α,␈ε¬[0]
␈ββα␈↓ α≠␈ελf␈↓ αJ␈εα(␈↓ αV␈ελt␈↓ αp␈εα,␈↓ β␈ελt␈↓ β→␈εα,␈↓ β)␈ελt␈↓ βB␈εα,␈↓ βR␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧α␈εα,␈↓ ∧∩␈ελt␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ∧s␈ελF␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬_␈ελt␈↓ ¬1␈εα,␈↓ ¬A␈ελt␈↓ ¬Z␈εα,␈↓ ¬j␈ελt␈↓ εβ␈εα,␈↓ ε∪␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εC␈εα,␈↓ εS␈ελt␈↓ εp␈εα);
␈ββ∂␈↓ αa␈ε¬1␈↓ β
␈ε¬2␈↓ β3␈ε¬3␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ¬#␈ε¬1␈↓ ¬L␈ε¬2␈↓ ¬u␈ε¬3␈↓ ε↑␈εn
␈ββ'␈↓ ¬*␈ε↓X
␈ββD␈↓ ↓|␈ε¬[1]␈↓ π.␈ε¬[0␈α↓]
␈ββJ␈↓ ↓k␈ελf␈↓ α~␈εα(␈↓ α&␈ελs␈↓ αD␈εα,␈↓ αT␈ελt␈↓ αm␈εα,␈↓ α⎇␈ελt␈↓ β↔␈εα,␈↓ β'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βW␈εα,␈↓ βg␈ελt␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ε≠␈ελg␈↓ ε:␈εα(␈↓ εF␈ελs␈↓ εd␈εα,␈↓ εt␈ελt␈↓ π⊃␈εα)␈↓ π≥␈ελf␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελt␈↓ πr␈εα,␈↓ λα␈ελt␈↓ λ≠␈εα,␈↓ λ+␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ[␈εα,␈↓ λk␈ελt␈↓ 	λ␈εα);
␈ββW␈↓ α2␈εn␈↓ α←␈ε¬1␈↓ βλ␈ε¬2␈↓ βq␈εn␈↓ ∧β␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε)␈εn␈↓ εR␈εn␈↓ ε␈␈εn␈↓ πd␈ε¬1␈↓ λ
␈ε¬2␈↓ λv␈εn
␈ββ{␈↓ ∧y␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬$␈εt␈↓ ¬=␈ε¬<␈↓ ¬Y␈εm
␈β∧∧␈↓ ¬-␈ε
n␈↓ ¬s␈ε
n
␈β∧∨␈↓ ¬*␈ε↓X
␈β∧<␈↓ ↓L␈ε¬[2]␈↓ λ↑␈ε¬[1]
␈β∧B␈↓ ↓;␈ελf␈↓ ↓j␈εα(␈↓ ↓v␈ελs␈↓ α@␈εα,␈↓ αP␈ελs␈↓ αm␈εα,␈↓ α⎇␈ελt␈↓ β↔␈εα,␈↓ β'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βW␈εα,␈↓ βg␈ελt␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ε≠␈ελg␈↓ εf␈εα(␈↓ εr␈ελs␈↓ π;␈εα,␈↓ πK␈ελs␈↓ πi␈εα,␈↓ πy␈ελt␈↓ λA␈εα)␈↓ λM␈ελf␈↓ λ|␈εα(␈↓ 	λ␈ελs␈↓ 	&␈εα,␈↓ 	6␈ελt␈↓ 	O␈εα,␈↓ 	←␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∂␈εα,␈↓ 
∨␈ελt␈↓ 
g␈εα);
␈β∧O␈↓ αα␈εn␈↓ α∀␈ε→␈␈ε¬1␈↓ α\␈εn␈↓ βλ␈ε¬1␈↓ βq␈εn␈↓ ∧β␈ε→␈␈ε¬2␈↓ ε)␈εn␈↓ ε:␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε}␈εn␈↓ π⊂␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ πW␈εn␈↓ λ∧␈εn␈↓ λ∃␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	∀␈εn␈↓ 	A␈ε¬1␈↓ 
*␈εn␈↓ 
<␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧s␈↓ ∧W␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬α␈εt␈↓ ¬=␈ε¬<␈↓ ¬Z␈εm
␈β∧|␈↓ ¬␈ε
n␈↓ ¬≠␈ε≠␈␈επ1␈↓ ¬s␈ε
n␈↓ εβ␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β¬1␈↓ ∧M␈εα.
␈β¬@␈↓ ∧M␈εα.
␈β¬N␈↓ ∧M␈εα.
␈β¬d␈↓ ¬*␈ε↓X
␈βεα␈↓ α$␈ε¬[␈↓ α,␈εn␈↓ α=␈ε¬]␈↓ λ∩␈ε¬[␈↓ λ~␈εn␈↓ λ,␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓]
␈βελ␈↓ α∩␈ελf␈↓ αE␈εα(␈↓ αQ␈ελs␈↓ αl␈εα,␈↓ α|␈ελs␈↓ β⊗␈εα,␈↓ β&␈ελs␈↓ βA␈εα,␈↓ βQ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↓␈εα,␈↓ ∧⊃␈ελs␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ε≠␈ελg␈↓ ε7␈εα(␈↓ εC␈ελs␈↓ ε]␈εα,␈↓ εm␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π≥␈εα,␈↓ π-␈ελs␈↓ πK␈εα,␈↓ π[␈ελt␈↓ πt␈εα)␈↓ λ␈ελf␈↓ λ←␈εα(␈↓ λk␈ελs␈↓ 	¬␈εα,␈↓ 	∃␈ελs␈↓ 	0␈εα,␈↓ 	@␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	p␈εα,␈↓ 
␈ελs␈↓ 
≡␈εα,␈↓ 
.␈ελt␈↓ 
G␈εα);
␈βε∃␈↓ α]␈ε¬1␈↓ βλ␈ε¬2␈↓ β2␈ε¬3␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ε)␈ε¬1␈↓ εO␈ε¬1␈↓ π9␈εn␈↓ πf␈ε¬1␈↓ λw␈ε¬2␈↓ 	!␈ε¬3␈↓ 
␈εn␈↓ 
8␈ε¬1
␈βε9␈↓ ∧⎇␈ε¬0␈ε→∀␈↓ ¬(␈εt␈↓ ¬=␈ε¬<␈↓ ¬Y␈εm
␈βεB␈↓ ¬1␈επ1␈↓ ¬s␈επ1
␈βεx␈↓ ¬∧␈ε¬[␈↓ ¬␈εn␈↓ ¬≡␈ε¬]
␈βε␈␈↓ α4␈ελf␈↓ αE␈εα(␈↓ αQ␈ελs␈↓ αl␈εα,␈↓ α|␈ελs␈↓ β⊗␈εα,␈↓ β&␈ελs␈↓ βA␈εα,␈↓ βQ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧↓␈εα,␈↓ ∧⊃␈ελs␈↓ ∧/␈εα)␈↓ ∧E␈εα=␈↓ ∧s␈ελf␈↓ ¬&␈εα(␈↓ ¬2␈ελs␈↓ ¬L␈εα,␈↓ ¬\␈ελs␈↓ ¬w␈εα,␈↓ επ␈ελs␈↓ ε!␈εα,␈↓ ε1␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εa␈εα,␈↓ εq␈ελs␈↓ π∂␈εα).␈↓ 
p␈εα(40)
␈βπ␈↓ α]␈ε¬1␈↓ βλ␈ε¬2␈↓ β2␈ε¬3␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ¬>␈ε¬1␈↓ ¬h␈ε¬2␈↓ ε∪␈ε¬3␈↓ ε⎇␈εn
␈βπS␈↓ λq␈εs␈↓ 	π␈εt␈↓ 	B␈ε¬[0␈α↓]
␈βπX␈↓ ↓H␈εαFor␈α
Yates's␈α
method␈αas␈α
sho␈α␈wn␈α
abo␈α␈v␈α␈e,␈↓ ε	␈ελg␈↓ ε$␈εα(␈↓ ε0␈ελs␈↓ εI␈εα,␈↓ εY␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π	␈εα,␈↓ π→␈ελs␈↓ π7␈εα,␈↓ πG␈ελt␈↓ π←␈εα)␈α
=␈α
(␈ε⊗␈␈εα1␈↓ λe␈εα)␈↓ 	≤␈εα;␈↓ 	1␈ελf␈↓ 	a␈εα(␈↓ 	m␈ελt␈↓ 
ε␈εα,␈↓ 
⊗␈ελt␈↓ 
/␈εα,␈↓ 
?␈ελt␈↓ 
X␈εα)␈α
rep-
␈βπ\␈↓ λ|␈ε
j␈↓ 	⊃␈ε
j
␈βπf␈↓ ε↔␈εj␈↓ ε<␈εj␈↓ π%␈εn␈↓ πR␈εj␈↓ 	w␈ε¬1␈↓ 
!␈ε¬2␈↓ 
J␈ε¬3
␈βπ}␈↓ ∧→␈ε¬[1]
␈βλβ␈↓ ↓H␈εαresen␈α␈ts␈απthe␈αλ\Giv␈α␈en";␈↓ ∧λ␈ελf␈↓ ∧7␈εα(␈↓ ∧C␈ελs␈↓ ∧↑␈εα,␈↓ ∧n␈ελt␈↓ ¬π␈εα,␈↓ ¬↔␈ελt␈↓ ¬0␈εα)␈αλrepresen␈α␈ts␈απthe␈απ\First␈αλstep";␈α	etc.␈α
Whenev␈α␈er␈αλa␈απsum
␈βλ⊃␈↓ ∧O␈ε¬3␈↓ ∧x␈ε¬1␈↓ ¬"␈ε¬2
␈βλ/␈↓ ↓H␈εαcan␈αbe␈αput␈α
in␈α␈to␈αthe␈αform␈αof␈α(39),␈αfor␈αreasonably␈αsimple␈αfunctions␈↓ 	@␈ελg␈↓ 	[␈εα(␈↓ 	g␈ελs␈↓ 
↓␈εα,␈↓ 
⊃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
A␈εα,␈↓ 
Q␈ελs␈↓ 
n␈εα,␈↓ 
}␈ελt␈↓ ⊗␈εα),
␈βλ<␈↓ 	N␈εj␈↓ 	s␈εj␈↓ 
]␈εn␈↓ 	␈εj
␈βλU␈↓ 
∀␈ε¬2
␈βλZ␈↓ ↓H␈εαthe␈αscheme␈α(40)␈αwill␈αreduce␈αthe␈αamoun␈α␈t␈α
of␈αcomputation␈αfrom␈αorder␈↓ 	r␈ελN␈↓ 
.␈εαto␈αorder
␈β	¬␈↓ ↓H␈ελN␈↓ ↓o␈εαlog␈↓ α#␈ελN␈↓ αM␈εαor␈απthereabouts,␈α	where␈↓ ¬#␈ελN␈↓ ¬N␈εα=␈↓ ¬|␈ελm␈↓ ε/␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε←␈ελm␈↓ π∃␈εα;␈α	furthermore␈απthis␈αλscheme␈αλis␈απideally
␈β	∩␈↓ ε≠␈ε¬1␈↓ ε}␈εn
␈β	0␈↓ ↓H␈εαsuited␈α∞to␈α∞parallel␈α∂computation.␈α∪The␈α∞importan␈α␈t␈α∞special␈α∂case␈α∞of␈α∞one-dimensional
␈β	[␈↓ ↓H␈εαFourier␈α∞transforms␈α
is␈α∞discussed␈α∞in␈α∞ex␈α␈ercises␈α∞14␈α∞and␈α∞53;␈α∂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∞considered␈α
the
␈β
π␈↓ ↓H␈εαone-dimensional␈αcase␈αalso␈αin␈αSection␈α4.3.3.
␈β
A␈↓ α␈εαLet␈αus␈αconsider␈αone␈αmore␈αspecial␈αcase␈αof␈αpolynomial␈αevaluation.␈ε∂␈αLagrange's
␈β
l␈↓ ↓H␈ε∂in␈α␈terpolation␈αpolynomial␈↓ ∧W␈εαof␈αorder␈↓ ¬←␈ελn␈↓ ¬t␈εα,␈αwhich␈αw␈α␈e␈αshall␈αwrite␈αas
␈β@␈↓ ∧O␈εα(␈↓ ∧[␈ελx␈↓ ∧u␈ε⊗␈␈↓ ¬!␈ελx␈↓ ¬@␈εα)(␈↓ ¬X␈ελx␈↓ ¬s␈ε⊗␈␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε>␈εα)␈↓ εP␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π␈εα(␈↓ π␈ελx␈↓ π'␈ε⊗␈␈↓ πS␈ελx␈↓ πu␈εα)
␈βM␈↓ ¬2␈ε¬1␈↓ ε0␈ε¬2␈↓ πc␈εn
␈βR␈↓ β∀␈ε¬[␈↓ β≤␈εn␈↓ β.␈ε¬]
␈βX␈↓ α}␈ελu␈↓ β6␈εα(␈↓ βB␈ελx␈↓ βU␈εα)␈↓ βk␈εα=␈↓ ∧→␈ελy
␈βf␈↓ ∧*␈ε¬0
␈βi␈↓ ∧<␈∧i∧<αβX
␈βq␈↓ ∧<␈εα(␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ∧o␈ε⊗␈␈↓ ¬≠␈ελx␈↓ ¬:␈εα)(␈↓ ¬R␈ελx␈↓ ¬y␈ε⊗␈␈↓ ε%␈ελx␈↓ εD␈εα)␈↓ εV␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πε␈εα(␈↓ π∩␈ελx␈↓ π9␈ε⊗␈␈↓ πe␈ελx␈↓ λλ␈εα)
␈β}␈↓ ∧Y␈ε¬0␈↓ ¬,␈ε¬1␈↓ ¬c␈ε¬0␈↓ ε6␈ε¬2␈↓ π#␈ε¬0␈↓ πv␈εn
␈β'␈↓ ¬∪␈εα(␈↓ ¬∨␈ελx␈↓ ¬9␈ε⊗␈␈↓ ¬e␈ελx␈↓ ε∧␈εα)(␈↓ ε≤␈ελx␈↓ ε7␈ε⊗␈␈↓ εc␈ελx␈↓ πα␈εα)␈↓ π∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πD␈εα(␈↓ πP␈ελx␈↓ πk␈ε⊗␈␈↓ λ↔␈ελx␈↓ λ9␈εα)
␈β4␈↓ ¬v␈ε¬0␈↓ εt␈ε¬2␈↓ λ'␈εn
␈β?␈↓ ∧1␈εα+␈↓ ∧]␈ελy␈↓ λd␈εα+␈↓ 	⊂␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈βL␈↓ ∧n␈ε¬1
␈βO␈↓ ¬␈∧O¬αβX
␈βW␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬3␈ε⊗␈␈↓ ¬←␈ελx␈↓ ¬}␈εα)(␈↓ ε⊗␈ελx␈↓ ε=␈ε⊗␈␈↓ εi␈ελx␈↓ πλ␈εα)␈↓ π~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ π⎇␈ε⊗␈␈↓ λ)␈ελx␈↓ λL␈εα)
␈βe␈↓ ¬≥␈ε¬1␈↓ ¬p␈ε¬0␈↓ ε'␈ε¬1␈↓ εz␈ε¬2␈↓ πg␈ε¬1␈↓ λ:␈εn
␈β

␈↓ ¬≠␈εα(␈↓ ¬'␈ελx␈↓ ¬B␈ε⊗␈␈↓ ¬n␈ελx␈↓ ε
␈εα)(␈↓ ε%␈ελx␈↓ ε@␈ε⊗␈␈↓ εl␈ελx␈↓ π␈εα)␈↓ π≥␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελx␈↓ πt␈ε⊗␈␈↓ λ ␈ελx␈↓ λm␈εα)
␈β
≠␈↓ ¬␈␈ε¬0␈↓ ε|␈ε¬1␈↓ λ0␈εn␈↓ λB␈ε→␈␈ε¬1
␈β
&␈↓ ∧1␈εα+␈↓ ∧]␈ελy␈↓ 	∃␈εα,␈↓ 
p␈εα(41)
␈β
3␈↓ ∧n␈εn
␈β
6␈↓ ¬∧␈∧
6¬∧α∧∞
␈β
>␈↓ ¬∧␈εα(␈↓ ¬⊂␈ελx␈↓ ¬:␈ε⊗␈␈↓ ¬f␈ελx␈↓ ε¬␈εα)(␈↓ ε≥␈ελx␈↓ εH␈ε⊗␈␈↓ εt␈ελx␈↓ π∪␈εα)␈↓ π%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πU␈εα(␈↓ πa␈ελx␈↓ λ␈ε⊗␈␈↓ λ7␈ελx␈↓ 	¬␈εα)
␈β
L␈↓ ¬ ␈εn␈↓ ¬w␈ε¬0␈↓ ε.␈εn␈↓ π∧␈ε¬1␈↓ πq␈εn␈↓ λH␈εn␈↓ λZ␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαis␈α
the␈αonly␈αpolynomial␈αof␈α
degree␈ε⊗␈α∀␈↓ ¬t␈ελn␈↓ ε∀␈εαin␈↓ ε=␈ελx␈↓ ε[␈εαthat␈α
tak␈α␈es␈αon␈αthe␈αrespectiv␈α␈e␈α
values␈↓ β␈ελy␈↓ "␈εα,
␈β∞≡␈↓ λR␈ε↓␈
␈β∞ ␈↓ ∀␈ε¬0
␈β∞=␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓{␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α+␈εα,␈↓ α@␈ελy␈↓ αm␈εαat␈α	the␈↓ βR␈ελn␈↓ βm␈εα+␈αε1␈α	distinct␈α
poin␈α␈ts␈↓ ε≠␈ελx␈↓ ε8␈εα=␈↓ εf␈ελx␈↓ π¬␈εα,␈↓ π→␈ελx␈↓ π8␈εα,␈↓ πM␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π⎇␈εα,␈↓ λ⊃␈ελx␈↓ λ4␈εα.␈↓ λ`␈εαFor␈α
it␈α
is␈α
eviden␈α␈t␈α	from
␈β∞K␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ αQ␈εn␈↓ εw␈ε¬0␈↓ π*␈ε¬1␈↓ λ"␈εn
␈β∞i␈↓ αu␈ε¬[␈↓ α⎇␈εn␈↓ β∂␈ε¬]
␈β∞n␈↓ ↓H␈εα(41)␈α
that␈↓ α←␈ελu␈↓ β↔␈εα(␈↓ β#␈ελx␈↓ βB␈εα)␈α=␈↓ ∧	␈ελy␈↓ ∧6␈εαfor␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ ¬<␈ελk␈↓ ¬Y␈ε⊗∀␈↓ ε	␈ελn␈↓ ε≡␈εα.␈α∂If␈↓ ε\␈ελf␈↓ εm␈εα(␈↓ εy␈ελx␈↓ π␈εα)␈α
is␈α
an␈α␈y␈α
such␈α
polynomial␈α
of␈αdegree
␈β∞{␈↓ β4␈εk␈↓ ∧~␈εk
␈β∂∀␈↓ ∧h␈ε¬[␈↓ ∧p␈εn␈↓ ¬α␈ε¬]
␈β∂→␈↓ ↓H␈ε⊗∀␈↓ ↓v␈ελn␈↓ α␈εα,␈αthen␈↓ αq␈ελg␈↓ ββ␈εα(␈↓ β∂␈ελx␈↓ β!␈εα)␈α
=␈↓ βe␈ελf␈↓ βw␈εα(␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧∃␈εα)␈ε⊗␈απ␈␈↓ ∧S␈ελu␈↓ ¬
␈εα(␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ¬)␈εα)␈αis␈αof␈αdegree␈ε⊗␈α∀␈↓ π)␈ελn␈↓ π?␈εα,␈αand␈↓ λ→␈ελg␈↓ λ*␈εα(␈↓ λ6␈ελx␈↓ λI␈εα)␈αis␈αzero␈αfor␈↓ 
¬␈ελx␈↓ 
!␈εα=␈↓ 
O␈ελx␈↓ 
n␈εα,␈↓ β␈ελx␈↓ "␈εα,
␈β∂&␈↓ 
`␈ε¬0␈↓ ∀␈ε¬1
␈β∂D␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α␈ελx␈↓ α.␈εα;␈αtherefore␈↓ βY␈ελg␈↓ βj␈εα(␈↓ βv␈ελx␈↓ ∧λ␈εα)␈α
is␈α
a␈α
m␈α␈ultiple␈α	of␈α
the␈α
polynomial␈α
(␈↓ λ∞␈ελx␈↓ λ%␈ε⊗␈␈↓ λN␈ελx␈↓ λm␈εα)(␈↓ 	¬␈ελx␈↓ 	≥␈ε⊗␈␈↓ 	F␈ελx␈↓ 	e␈εα)␈↓ 	w␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
'␈εα(␈↓ 
3␈ελx␈↓ 
K␈ε⊗␈␈↓ 
t␈ελx␈↓ ⊗␈εα).
␈β∂P␈↓ 	F␈ε↓↓
␈β∂Q␈↓ α≤␈εn␈↓ λ←␈ε¬0␈↓ 	W␈ε¬1␈↓ ¬␈εn
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαThe␈α	degree␈α
of␈α
the␈α	latter␈α
polynomial␈α
is␈α
greater␈α	than␈↓ πc␈ελn␈↓ πy␈εα,␈α
so␈↓ λ6␈ελg␈↓ λH␈εα(␈↓ λT␈ελx␈↓ λf␈εα)␈α
=␈α
0.␈↓ 	h␈εαIf␈α
w␈α␈e␈α	assume
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthat␈απthe␈αλvalues␈αλof␈απa␈αλfunction␈απin␈αλsome␈αλtable␈απare␈αλw␈α␈ell␈αλappro␈α␈ximated␈απby␈αλa␈απpolynomial,
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαLagrange's␈α
form␈α␈ula␈α(41)␈αmay␈αtherefore␈α
be␈αused␈αto␈α\in␈α␈terpolate"␈α
for␈αvalues␈αof␈α
the
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαfunction␈αat␈αpoin␈α␈ts␈↓ βj␈ελx␈↓ ∧λ␈εαnot␈αappearing␈αin␈αthe␈αtable.␈αUnfortunately,␈αthere␈αseem␈αto␈αbe
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαquite␈αa␈αfew␈αadditions,␈αsubtractions,␈α
m␈α␈ultiplications,␈αand␈αdivisions␈αin␈αLagrange's
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα467
␈βα#␈↓ εR␈ε¬2␈↓ 	+␈ε¬2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαform␈α␈ula;␈αin␈αfact,␈αthere␈α
are␈↓ ∧e␈ελn␈↓ ¬ε␈εαadditions,␈α2␈↓ ε=␈ελn␈↓ εg␈εα+␈απ2␈α
subtractions,␈α2␈↓ 	∃␈ελn␈↓ 	@␈εα+␈↓ 	j␈ελn␈↓ 
ε␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈α
m␈α␈ulti-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαplications,␈α
and␈↓ β7␈ελn␈↓ βS␈εα+␈αε1␈α
divisions.␈αFortunately␈α
(as␈αw␈α␈e␈α
migh␈α␈t␈αsuspect),␈α
impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t
␈βα}␈↓ ↓H␈εαis␈αpossible.
␈ββ'␈↓ λn␈ε¬[␈↓ λv␈εn␈↓ 	λ␈ε¬]␈↓ 
␈ε¬[␈↓ 
∪␈εn␈↓ 
%␈ε→␈␈ε¬1]
␈ββ,␈↓ α␈εαThe␈α⊃basic␈α⊃idea␈α∩for␈α⊃simplifying␈α⊃(41)␈α⊃is␈α∩to␈α⊃note␈α⊃that␈↓ λX␈ελu␈↓ 	⊂␈εα(␈↓ 	≤␈ελx␈↓ 	/␈εα)␈ε⊗␈α␈␈↓ 	v␈ελu␈↓ 
X␈εα(␈↓ 
d␈ελx␈↓ 
w␈εα)␈α⊃is
␈ββR␈↓ ¬w␈ε¬[␈↓ ¬␈␈εn␈↓ ε⊂␈ε¬]␈↓ π⊃␈ε¬[␈↓ π→␈εn␈↓ π+␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓]
␈ββW␈↓ ↓H␈εαzero␈α∞for␈↓ αQ␈ελx␈↓ αs␈εα=␈↓ β%␈ελx␈↓ βD␈εα,␈↓ β↑␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∞␈εα,␈↓ ∧'␈ελx␈↓ ∧u␈εα;␈α⊂th␈α␈us␈↓ ¬a␈ελu␈↓ ε_␈εα(␈↓ ε$␈ελx␈↓ ε7␈εα)␈ε⊗␈α
␈␈↓ ε{␈ελu␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελx␈↓ π⎇␈εα)␈α∞is␈α∂a␈α∂polynomial␈α∂of␈α∞degree
␈ββd␈↓ β6␈ε¬0␈↓ ∧8␈εn␈↓ ∧J␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈ββ⎇␈↓ 
*␈ε¬[␈↓ 
2␈εn␈↓ 
D␈ε¬]
␈β∧α␈↓ ↓H␈ε⊗∀␈↓ ↓}␈ελn␈↓ α$␈εαand␈α⊃a␈α⊃m␈α␈ultiple␈α⊂of␈α⊃(␈↓ ∧↑␈ελx␈↓ ∧|␈ε⊗␈␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬J␈εα)␈↓ ¬\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈εα(␈↓ ε_␈ελx␈↓ ε6␈ε⊗␈␈↓ εf␈ελx␈↓ π3␈εα).␈α≠We␈α⊂conclude␈α⊃that␈↓ 
∀␈ελu␈↓ 
L␈εα(␈↓ 
X␈ελx␈↓ 
j␈εα)␈α∩=
␈β∧⊂␈↓ ¬<␈ε¬0␈↓ εv␈εn␈↓ πλ␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧(␈↓ ¬→␈ε¬[␈↓ ¬!␈εn␈↓ ¬3␈ε→␈␈ε¬1]
␈β∧-␈↓ ↓H␈ελ␈↓ ↓l␈εα(␈↓ ↓x␈ελx␈↓ α∪␈ε⊗␈␈↓ α?␈ελx␈↓ α↑␈εα)␈↓ αp␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β ␈εα(␈↓ β,␈ελx␈↓ βG␈ε⊗␈␈↓ βs␈ελx␈↓ ∧A␈εα)␈↓ ∧V␈εα+␈↓ ¬β␈ελu␈↓ ¬f␈εα(␈↓ ¬r␈ελx␈↓ ε¬␈εα),␈α∞where␈↓ π∪␈ελ␈↓ πF␈εαis␈α∞a␈α∞constan␈α␈t.␈α∩This␈α∞leads␈α
us␈α∞to
␈β∧;␈↓ ↓Z␈εn␈↓ αP␈ε¬0␈↓ ∧β␈εn␈↓ ∧∃␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π&␈εn
␈β∧Y␈↓ ↓H␈ε∂Newton's␈αin␈α␈terpolation␈αform␈α␈ula
␈β¬0␈↓ β≠␈ε¬[␈↓ β#␈εn␈↓ β5␈ε¬]
␈β¬6␈↓ β¬␈ελu␈↓ β=␈εα(␈↓ βI␈ελx␈↓ β\␈εα)␈↓ βr␈εα=␈↓ ∧ ␈ελ␈↓ ∧E␈εα(␈↓ ∧Q␈ελx␈↓ ∧k␈ε⊗␈␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬6␈εα)(␈↓ ¬N␈ελx␈↓ ¬i␈ε⊗␈␈↓ ε∃␈ελx␈↓ ε4␈εα)␈↓ εF␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εv␈εα(␈↓ πα␈ελx␈↓ π≥␈ε⊗␈␈↓ πI␈ελx␈↓ λ⊗␈εα)␈αλ+␈↓ λV␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓
␈β¬C␈↓ ∧3␈εn␈↓ ¬(␈ε¬0␈↓ ε&␈ε¬1␈↓ πY␈εn␈↓ πk␈ε→␈␈ε¬1
␈β¬h␈↓ ∧8␈εα+␈↓ ∧d␈ελ␈↓ ¬¬␈εα(␈↓ ¬⊃␈ελx␈↓ ¬,␈ε⊗␈␈↓ ¬X␈ελx␈↓ ¬w␈εα)(␈↓ ε∂␈ελx␈↓ ε*␈ε⊗␈␈↓ εV␈ελx␈↓ εu␈εα)␈αλ+␈↓ π5␈ελ␈↓ πV␈εα(␈↓ πb␈ελx␈↓ π|␈ε⊗␈␈↓ λ(␈ελx␈↓ λG␈εα)␈αλ+␈↓ 	π␈ελ␈↓ 	)␈εα,␈↓ 
p␈εα(42)
␈β¬v␈↓ ∧w␈ε¬2␈↓ ¬h␈ε¬0␈↓ εf␈ε¬1␈↓ πG␈ε¬1␈↓ λ9␈ε¬0␈↓ 	~␈ε¬0
␈βεE␈↓ ↓H␈εαwhere␈α
the␈↓ αi␈ελ␈↓ α⎇␈εα's␈α
are␈α
some␈α
constan␈α␈ts␈α
w␈α␈e␈α
should␈α
lik␈α␈e␈α	to␈α
determine␈α
from␈↓ 	U␈ελx␈↓ 	t␈εα,␈↓ 
λ␈ελx␈↓ 
'␈εα,␈↓ 
<␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
l␈εα,␈↓ ␈ελx␈↓ "␈εα,
␈βεR␈↓ 	f␈ε¬0␈↓ 
→␈ε¬1␈↓ ⊃␈εn
␈βεp␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ↓g␈εα,␈↓ ↓⎇␈ελy␈↓ α≤␈εα,␈↓ α2␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αb␈εα,␈↓ αx␈ελy␈↓ β≠␈εα.␈αNote␈αthat␈αthis␈αform␈α␈ula␈αholds␈αfor␈αall␈↓ πj␈ελn␈↓ λ␈εα;␈αthe␈αcoe}cien␈α␈t␈↓ 	{␈ελ␈↓ 
(␈εαdoes␈αnot
␈βε}␈↓ ↓Y␈ε¬0␈↓ α∞␈ε¬1␈↓ β	␈εn␈↓ 
∞␈εk
␈βπ≠␈↓ ↓H␈εαdepend␈αon␈↓ αu␈ελx␈↓ β?␈εα,␈↓ βU␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧¬␈εα,␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧=␈εα,␈↓ ∧R␈ελy␈↓ ¬≥␈εα,␈↓ ¬3␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬c␈εα,␈αor␈↓ ε$␈ελy␈↓ εG␈εα.␈αOnce␈αthe␈↓ πu␈ελ␈↓ λ	␈εα's␈αare␈αkno␈α␈wn,␈αNewton's␈αin-
␈βπ)␈↓ β¬␈εk␈↓ β∀␈ε¬+1␈↓ ∧+␈εn␈↓ ∧c␈εk␈↓ ∧r␈ε¬+1␈↓ ε5␈εn
␈βπG␈↓ ↓H␈εαterpolation␈απform␈α␈ula␈απis␈απcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αλfor␈απcalculation,␈αλsince␈αλw␈α␈e␈απmay␈απgeneralize␈απHorner's
␈βπr␈↓ ↓H␈εαrule␈αonce␈αagain␈αand␈αwrite
␈βλ/␈↓ β*␈ε↓␈␈↓ 
&␈ε↓↓
␈βλI␈↓ α%␈ε¬[␈↓ α-␈εn␈↓ α?␈ε¬]
␈βλO␈↓ α⊂␈ελu␈↓ αG␈εα(␈↓ αS␈ελx␈↓ αf␈εα)␈α
=␈↓ β8␈εα(␈↓ βJ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βz␈εα(␈↓ ∧ε␈ελ␈↓ ∧+␈εα(␈↓ ∧7␈ελx␈↓ ∧I␈ε⊗␈␈↓ ∧m␈ελx␈↓ ¬;␈εα)␈αλ+␈↓ ¬{␈ελ␈↓ εK␈εα)(␈↓ εc␈ελx␈↓ εv␈ε⊗␈␈↓ π~␈ελx␈↓ πh␈εα)␈αλ+␈↓ λ(␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λX␈εα)(␈↓ λp␈ελx␈↓ 	α␈ε⊗␈␈↓ 	&␈ελx␈↓ 	E␈εα)␈αλ+␈↓ 
¬␈ελ␈↓ 
4␈εα.␈↓ 
p␈εα(43)
␈βλ\␈↓ ∧→␈εn␈↓ ∧}␈εn␈↓ ¬⊂␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε∞␈εn␈↓ ε ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π*␈εn␈↓ π<␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 	7␈ε¬0␈↓ 
_␈ε¬0
␈β	+␈↓ ↓H␈εαThis␈α	requires␈↓ β~␈ελn␈↓ β:␈εαm␈α␈ultiplications␈α	and␈α	2␈↓ ε↓␈ελn␈↓ ε!␈εαadditions.␈αAlternativ␈α␈ely,␈α
w␈α␈e␈α	may␈α	evaluate
␈β	W␈↓ ↓H␈εαeach␈α	of␈α	the␈α	individual␈α	terms␈α	of␈α	(42)␈α	from␈α	righ␈α␈t␈α	to␈α	left;␈α
with␈α
2␈↓ λg␈ελn␈↓ 	␈ε⊗␈␈εα␈α∧1␈α	m␈α␈ultiplications
␈β	⎇␈↓ λ-␈ε¬[0]␈↓ 	 ␈ε¬[1]␈↓ 
V␈ε¬[␈↓ 
↑␈εn␈↓ 
p␈ε¬]
␈β
α␈↓ ↓H␈εαand␈α	2␈↓ α≥␈ελn␈↓ α<␈εαadditions␈α	w␈α␈e␈α	thereby␈α	calculate␈α	all␈α	of␈α	the␈α	values␈↓ λ↔␈ελu␈↓ λK␈εα(␈↓ λW␈ελx␈↓ λj␈εα),␈↓ 	
␈ελu␈↓ 	>␈εα(␈↓ 	J␈ελx␈↓ 	]␈εα),␈↓ 	|␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
,␈εα,␈↓ 
@␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈β
-␈↓ ↓H␈εαand␈αthis␈αindicates␈αwhether␈αor␈αnot␈αan␈αin␈α␈terpolation␈αprocess␈αis␈α\con␈α␈v␈α␈erging."
␈β
Z␈↓ α␈εαThe␈α⊂coe}cien␈α␈ts␈↓ ∧∪␈ελ␈↓ ∧D␈εαin␈α∂Newton's␈α⊂form␈α␈ula␈α⊂may␈α⊂be␈α∂found␈α⊂by␈α⊂computing␈α∂the
␈β
h␈↓ ∧%␈εk
␈βε␈↓ ↓H␈ε∂divided␈αdi{erences␈εα␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtableau␈α(sho␈α␈wn␈αfor␈↓ λ*␈ελn␈↓ λI␈εα=␈α
3):
␈βT␈↓ ↓H␈ελy
␈βa␈↓ ↓Y␈ε¬0
␈βl␈↓ ∧k␈ε→0
␈βq␈↓ α⊂␈εα(␈↓ α≤␈ελy␈↓ α>␈ε⊗␈␈↓ αd␈ελy␈↓ ββ␈εα)/(␈↓ β-␈ελx␈↓ βN␈ε⊗␈␈↓ βt␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α
=␈↓ ∧W␈ελy
␈β}␈↓ α-␈ε¬1␈↓ αu␈ε¬0␈↓ β>␈ε¬1␈↓ ∧¬␈ε¬0
␈βα␈↓ ∧k␈ε¬1
␈βλ␈↓ ¬C␈ε→0␈↓ ε∞␈ε→0␈↓ λ∧␈ε→00
␈β
␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελy␈↓ ¬T␈ε⊗␈␈↓ ¬z␈ελy␈↓ ε≤␈εα)/(␈↓ εF␈ελx␈↓ εg␈ε⊗␈␈↓ π
␈ελx␈↓ π,␈εα)␈α
=␈↓ πp␈ελy
␈β≠␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ εW␈ε¬2␈↓ π≡␈ε¬0
␈β∨␈↓ ¬C␈ε¬2␈↓ ε∞␈ε¬1␈↓ λ∧␈ε¬2
␈β%␈↓ ∧k␈ε→0␈↓ ↔␈ε→000
␈β*␈↓ α⊂␈εα(␈↓ α≤␈ελy␈↓ α>␈ε⊗␈␈↓ αd␈ελy␈↓ ββ␈εα)/(␈↓ β-␈ελx␈↓ βN␈ε⊗␈␈↓ βt␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α
=␈↓ ∧W␈ελy␈↓ λ<␈εα(␈↓ λH␈ελy␈↓ λi␈ε⊗␈␈↓ 	∂␈ελy␈↓ 	/␈εα)/(␈↓ 	Y␈ελx␈↓ 	z␈ε⊗␈␈↓ 
 ␈ελx␈↓ 
?␈εα)␈α
=␈↓ β␈ελy
␈β8␈↓ α-␈ε¬2␈↓ αu␈ε¬1␈↓ β>␈ε¬2␈↓ ∧¬␈ε¬1␈↓ λY␈ε¬3␈↓ 	 ␈ε¬2␈↓ 	i␈ε¬3␈↓ 
0␈ε¬0
␈β<␈↓ ∧k␈ε¬2␈↓ ↔␈ε¬3
␈βB␈↓ ¬C␈ε→0␈↓ ε∞␈ε→0␈↓ λ∧␈ε→00
␈βG␈↓ ↓H␈ελy␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελy␈↓ ¬T␈ε⊗␈␈↓ ¬z␈ελy␈↓ ε≤␈εα)/(␈↓ εF␈ελx␈↓ εg␈ε⊗␈␈↓ π
␈ελx␈↓ π,␈εα)␈α
=␈↓ πp␈ελy
␈βT␈↓ ↓Y␈ε¬2␈↓ εW␈ε¬3␈↓ π≡␈ε¬1
␈βY␈↓ ¬C␈ε¬3␈↓ ε∞␈ε¬2␈↓ λ∧␈ε¬3
␈β←␈↓ ∧k␈ε→0
␈βd␈↓ α⊂␈εα(␈↓ α≤␈ελy␈↓ α>␈ε⊗␈␈↓ αd␈ελy␈↓ ββ␈εα)/(␈↓ β-␈ελx␈↓ βN␈ε⊗␈␈↓ βt␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α
=␈↓ ∧W␈ελy
␈βq␈↓ α-␈ε¬3␈↓ αu␈ε¬2␈↓ β>␈ε¬3␈↓ ∧¬␈ε¬2
␈βv␈↓ ∧k␈ε¬3
␈β
↓␈↓ ↓H␈ελy␈↓ 
p␈εα(44)
␈β
∞␈↓ ↓Y␈ε¬3
␈β
X␈↓ π9␈ε→0␈↓ λc␈ε→00
␈β
]␈↓ ↓H␈εαIt␈α⊃is␈α⊃possible␈α∩to␈α⊃pro␈α␈v␈α␈e␈α⊃that␈↓ ¬∪␈ελ␈↓ ¬G␈εα=␈↓ ¬}␈ελy␈↓ ε≡␈εα,␈↓ ε:␈ελ␈↓ εn␈εα=␈↓ π%␈ελy␈↓ πH␈εα,␈↓ πd␈ελ␈↓ λ_␈εα=␈↓ λO␈ελy␈↓ λr␈εα,␈α∩etc.,␈α∪and␈α⊃to␈α⊃sho␈α␈w
␈β
k␈↓ ¬&␈ε¬0␈↓ ε∂␈ε¬0␈↓ εM␈ε¬1␈↓ πw␈ε¬2
␈β
o␈↓ π9␈ε¬1␈↓ λc␈ε¬2
␈β∞	␈↓ ↓H␈εαthat␈α∞the␈α∂divided␈α∞di{erences␈α∂hav␈α␈e␈α∞importan␈α␈t␈α∂relations␈α∞to␈α∂the␈α∞derivativ␈α␈es␈α∂of␈α∞the
␈β∞4␈↓ ↓H␈εαfunction␈αbeing␈α
in␈α␈terpolated;␈αsee␈α
ex␈α␈ercise␈α15.␈α∞Therefore␈αthe␈α
follo␈α␈wing␈αcalculation
␈β∞?␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ ∧$␈ε↓↓
␈β∞←␈↓ ↓V␈εαcorresponding␈αto␈α(44)␈↓ ∧>␈εαmay␈αbe␈αused␈αto␈αobtain␈αthe␈↓ πj␈ελ␈↓ π}␈εα's:
␈β∂<␈↓ α␈εαStart␈α∞with␈α∞(␈↓ βJ␈ελ␈↓ βk␈εα,␈↓ β{␈ελ␈↓ ∧≤␈εα,␈↓ ∧,␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧\␈εα,␈↓ ∧l␈ελ␈↓ ¬⊃␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(␈↓ ¬g␈ελy␈↓ εε␈εα,␈↓ ε⊗␈ελy␈↓ ε6␈εα,␈↓ εF␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εv␈εα,␈↓ πε␈ελy␈↓ π)␈εα);␈α∞then,␈α∂for␈↓ λf␈ελk␈↓ 	∧␈εα=␈α
1,␈α∂2,␈↓ 

␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
:␈εα,␈↓ 
R␈ελn
␈β∂I␈↓ β]␈ε¬0␈↓ ∧∞␈ε¬1␈↓ ∧␈␈εn␈↓ ¬x␈ε¬0␈↓ ε'␈ε¬1␈↓ π↔␈εn
␈β∂g␈↓ α␈εα(in␈αthis␈αorder),␈αset␈↓ ∧3␈ελ␈↓ ∧]␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈↓ ¬↔␈ελ␈↓ ¬?␈ε⊗␈␈↓ ¬j␈ελ␈↓ ε6␈εα)/(␈↓ ε`␈ελx␈↓ π¬␈ε⊗␈␈↓ π1␈ελx␈↓ πz␈εα)␈αfor␈↓ λI␈ελj␈↓ λd␈εα=␈↓ 	∩␈ελn␈↓ 	'␈εα,␈↓ 	=␈ελn␈↓ 	[␈ε⊗␈␈εα␈απ1,␈↓ 
.␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
↑␈εα,
␈β∂t␈↓ ∧F␈εj␈↓ ¬*␈εj␈↓ ¬⎇␈εj␈↓ ε
␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εp␈εj␈↓ πA␈εj␈↓ πO␈ε→␈␈↓ πk␈εk
␈β⊂∩␈↓ α␈ελk␈↓ α*␈εα(in␈αthis␈αorder).
␈β⊂j␈↓ ∧J␈ε¬2␈↓ π_␈ε¬2
␈β⊂l␈↓ ∧⊗␈ε¬1
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαThis␈α	process␈αλrequires␈↓ ∧)␈εα(␈↓ ∧5␈ελn␈↓ ∧]␈εα+␈↓ ¬∧␈ελn␈↓ ¬~␈εα)␈α	divisions␈α	and␈↓ πβ␈ελn␈↓ π+␈εα+␈↓ πS␈ελn␈↓ πq␈εαsubtractions,␈α
so␈α	about␈αλthree-
␈β⊂␈␈↓ ∧⊗␈∧⊂␈∧⊗α∂
␈β⊃α␈↓ ∧⊗␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαfourths␈αof␈αthe␈αw␈α␈ork␈αimplied␈αin␈α(41)␈αhas␈αbeen␈αsav␈α␈ed.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα468␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα!␈↓ λ∧␈ε¬3
␈βα$␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈αsuppose␈αthat␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αestimate␈↓ λ⊗␈εα!␈αfrom␈αthe␈αvalues␈αof␈α0!,␈α1!,
␈βα5␈↓ λ∧␈∧α5λ∧α∂
␈βα7␈↓ λ∧␈ε¬2
␈βαP␈↓ ↓H␈εα2!,␈αand␈α3!,␈αusing␈αa␈αcubic␈αpolynomial.␈αThe␈αdivided␈αdi{erences␈αare
␈ββ!␈↓ ¬O␈∧β!¬Oα∂α
␈ββ"␈↓ εA␈ε→0␈↓ π␈ε→00␈↓ πF␈ε→0␈α↓00
␈ββ'␈↓ ¬_␈ελx␈↓ ¬t␈ελy␈↓ ε,␈ελy␈↓ εl␈ελy␈↓ π2␈ελy
␈ββa␈↓ ¬→␈εα0␈↓ ¬u␈εα1
␈ββ⎇␈↓ ε1␈εα0
␈β∧↔␈↓ εv␈ε¬1
␈β∧~␈↓ ¬→␈εα1␈↓ ¬u␈εα1
␈β∧+␈↓ εv␈∧∧+εvα∂
␈β∧-␈↓ εv␈ε¬2
␈β∧4␈↓ π@␈ε¬1
␈β∧7␈↓ ε1␈εα1
␈β∧G␈↓ π@␈∧∧Gπ@α∂
␈β∧J␈↓ π@␈ε¬3
␈β∧Q␈↓ εv␈ε¬3
␈β∧T␈↓ ¬→␈εα2␈↓ ¬u␈εα2
␈β∧d␈↓ εv␈∧∧dεvα∂
␈β∧g␈↓ εv␈ε¬2
␈β∧q␈↓ ε1␈εα4
␈β¬
␈↓ ¬→␈εα3␈↓ ¬u␈εα6
␈β¬`␈↓ α
␈ε¬[0]␈↓ β"␈ε¬[1]␈↓ ∧b␈ε¬[2␈α↓]␈↓ πr␈ε¬[3]
␈β¬b␈↓ ¬i␈ε¬1␈↓ λx␈ε¬1
␈β¬e␈↓ ↓H␈εαso␈↓ ↓t␈ελu␈↓ α(␈εα(␈↓ α4␈ελx␈↓ αG␈εα)␈α=␈↓ β␈ελu␈↓ β@␈εα(␈↓ βL␈ελx␈↓ β←␈εα)␈α=␈α
1,␈↓ ∧M␈ελu␈↓ ¬↓␈εα(␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬ ␈εα)␈α
=␈↓ ¬{␈ελx␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε5␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈α	+␈αλ1,␈↓ π\␈ελu␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελx␈↓ λ/␈εα)␈α=␈↓ 	␈ελx␈↓ 	≡␈εα(␈↓ 	*␈ελx␈↓ 	E␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)(␈↓ 
≠␈ελx␈↓ 
6␈ε⊗␈␈εα␈αλ2)␈αλ+
␈β¬u␈↓ ¬i␈∧¬u¬iα∂␈↓ λx␈∧¬uλxα∂
␈β¬x␈↓ ¬i␈ε¬2␈↓ λx␈ε¬3
␈βε
␈↓ ↓L␈ε¬1␈↓ ∧{␈ε¬3␈↓ 	∩␈ε¬1␈↓ 	W␈ε¬3
␈βε⊂␈↓ ↓↑␈ελx␈↓ ↓q␈εα(␈↓ ↓⎇␈ελx␈↓ α∃␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈αε+␈α¬1.␈αSetting␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧I␈εα=␈↓ ¬↔␈εαin␈α
the␈α
latter␈α
polynomial␈α
giv␈α␈es␈ε⊗␈α
␈␈↓ 	*␈εα+␈↓ 	o␈εα+␈α¬1␈α
=␈α
1.25;
␈βε!␈↓ ↓L␈∧ε!↓Lα∂␈↓ ∧{␈∧ε!∧{α∂␈↓ 	∩␈∧ε!	∩α∂␈↓ 	W␈∧ε!	Wα∂
␈βε#␈↓ ↓L␈ε¬2␈↓ ∧{␈ε¬2␈↓ 	∩␈ε¬8␈↓ 	W␈ε¬8
␈βε8␈↓ ε∞␈ε¬5␈↓ εh␈ε¬3
␈βε:␈↓ π≡␈∧ε:π≡α∃
␈βε;␈↓ ↓H␈εαpresumably␈αthe␈α\correct"␈αvalue␈αis␈α␈(␈↓ ε ␈εα)␈α
=␈↓ εz␈ε⊗p␈↓ π≡␈ελ→␈↓ π=␈ε⊗→␈εα␈α
1.33.
␈βεL␈↓ ε∞␈∧εLε∞α∂␈↓ εh␈∧εLεhα∂
␈βεN␈↓ ε∞␈ε¬2␈↓ εh␈ε¬4
␈βεg␈↓ α␈εαIt␈α∞is␈α∂instructiv␈α␈e␈α∞to␈α∂note␈α∞that␈α∞evaluation␈α∂of␈α∞the␈α∂in␈α␈terpolation␈α∞polynomial␈α∞is
␈βπ∩␈↓ ↓H␈εαjust␈α∂a␈α⊂special␈α⊂case␈α∂of␈α⊂the␈α⊂Chinese␈α∂remainder␈α⊂algorithm␈α⊂of␈α∂Section␈α⊂4.3.2,␈α⊂since
␈βπ8␈↓ ∧N␈ε¬[␈↓ ∧V␈εn␈↓ ∧h␈ε¬]
␈βπ=␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
kno␈α␈w␈α∞the␈α
values␈α
of␈↓ ∧9␈ελu␈↓ ∧p␈εα(␈↓ ∧|␈ελx␈↓ ¬∂␈εα)␈α∞modulo␈α
the␈α
relativ␈α␈ely␈α∞prime␈α
polynomials␈↓ 
;␈ελx␈↓ 
W␈ε⊗␈␈↓ β␈ελx␈↓ "␈εα,
␈βπI␈↓ β*␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βπK␈↓ ∀␈ε¬0
␈βπi␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α∩␈ελx␈↓ α/␈ε⊗␈␈↓ α↑␈ελx␈↓ β␈εα.␈↓ β8␈εαAs␈α⊂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α⊂seen␈α∂in␈α⊂Section␈α⊂4.6.2,␈↓ πf␈ελf␈↓ πx␈εα(␈↓ λ∧␈ελx␈↓ λ⊗␈εα)␈α⊂mod␈α⊂(␈↓ 	∩␈ελx␈↓ 	/␈ε⊗␈␈↓ 	]␈ελx␈↓ 	|␈εα)␈α⊂=␈↓ 
L␈ελf␈↓ 
]␈εα(␈↓ 
i␈ελx␈↓ λ␈εα).
␈βπv␈↓ αn␈εn␈↓ 	n␈ε¬0␈↓ 
z␈ε¬0
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εαUnder␈α∞this␈α∞in␈α␈terpretation,␈α∂Newton's␈α∞form␈α␈ula␈α∞(42)␈α∞is␈α∞precisely␈α∞the␈α∞\mix␈α␈ed-radix
␈βλ?␈↓ ↓H␈εαrepresen␈α␈tation"␈αof␈αEq.␈α4.3.2↑24;␈αand␈α4.3.2↑23␈αyields␈αanother␈αway␈αto␈αcompute␈↓ ↓␈ελ␈↓ "␈εα,
␈βλL␈↓ ∀␈ε¬0
␈βλj␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α∞␈ελ␈↓ α>␈εαusing␈αthe␈αsame␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αoperations␈αas␈α(44).
␈βλx␈↓ α ␈εn
␈β	"␈↓ α␈εαBy␈α	applying␈α	fast␈αλFourier␈α	transforms,␈α
it␈α	is␈αλpossible␈α	to␈α	reduce␈α	the␈α	running␈αλtime
␈β	-␈↓ ∧ ␈ε↓␈␈↓ ¬9␈ε↓↓
␈β	H␈↓ ¬+␈ε¬2
␈β	M␈↓ ↓H␈εαfor␈α
in␈α␈terpolation␈α∞to␈↓ ∧ε␈ελO␈↓ ∧.␈ελn␈↓ ∧I␈εα(␈↓ ∧U␈εαlog␈↓ ¬	␈ελn␈↓ ¬∨␈εα)␈↓ ¬G␈εα,␈α∞and␈α∞a␈α∞similar␈α
reduction␈α∞can␈α∞also␈α
be␈α∞made␈α
for
␈β	x␈↓ ↓H␈εαrelated␈αλalgorithms␈α	such␈αλas␈α	the␈αλsolution␈α	to␈α	the␈αλChinese␈α	remainder␈αλproblem␈α	and␈αλthe
␈β
#␈↓ ↓H␈εαevaluation␈αof␈αan␈↓ βS␈ελn␈↓ βi␈εαth␈αdegree␈αpolynomial␈αat␈↓ εl␈ελn␈↓ π
␈εαdi{eren␈α␈t␈αpoin␈α␈ts.␈α→[See␈αE.␈αHoro␈α␈witz,
␈β
O␈↓ ↓H␈ε∂Inf.␈αProc.␈αLetters␈ε∩␈α1␈εα␈α(1972),␈α157↑163;␈αR.␈αMoenck␈αand␈αA.␈αBorodin,␈ε∂␈αJ.␈αComp.␈αSyst.
␈β
z␈↓ ↓H␈ε∂Sci.␈ε∩␈α∞8␈εα␈α∞(1974),␈α∞336↑385;␈α∂and␈α∞A.␈α∞Borodin,␈ε∂␈α∂Complexity␈α
of␈α∞Sequen␈α␈tial␈α∞and␈α∞Parallel
␈β%␈↓ ↓H␈ε∂Numerical␈α
Algorithms␈εα,␈α∂ed.␈α∞by␈α
J.␈α∞F.␈α∞Traub␈α∞(New␈α∞York:␈α∂Academic␈α∞Press,␈α∞1973),
␈βP␈↓ ↓H␈εα149↑180.]␈α→Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
this␈αm␈α␈ust␈αbe␈α
regarded␈αas␈αa␈α
purely␈αtheoretical␈αpossibility␈αat
␈β{␈↓ ↓H␈εαpresen␈α␈t,␈α⊂since␈α⊂the␈α⊂kno␈α␈wn␈α∂algorithms␈α⊂hav␈α␈e␈α⊂a␈α⊂rather␈α∂large␈α⊂o␈α␈v␈α␈erhead␈α⊂factor␈α∂that
␈β'␈↓ ↓H␈εαmak␈α␈es␈αthem␈αunattractiv␈α␈e␈αunless␈↓ ¬H␈ελn␈↓ ¬i␈εαis␈αquite␈αlarge.
␈β↑␈↓ α␈εαA␈αλremarkable␈α	modi|cation␈αλof␈α	the␈αλmethod␈αλof␈α	divided␈αλdi{erences,␈α	an␈αλextension
␈β
	␈↓ ↓H␈εαthat␈α	applies␈α	to␈αλrational␈α	functions␈α	instead␈α	of␈α	to␈α	polynomials,␈α
was␈α	in␈α␈troduced␈α	by␈αλT.
␈β
5␈↓ ↓H␈εαN.␈α	Thiele␈α	in␈α	1909.␈αFor␈α
a␈α	discussion␈α	of␈α	Thiele's␈α
method␈α	of␈α	\reciprocal␈α	di{erences,"
␈β
`␈↓ ↓H␈εαsee␈αL.␈αM.␈αMilne-Thompson,␈ε∂␈αCalculus␈αof␈αFinite␈αDi{erences␈εα␈α(London:␈αMacMillan,
␈β∞␈↓ ↓H␈εα1933),␈αChapter␈α5;␈αR.␈αW.␈αFlo␈α␈yd,␈ε∂␈αCA␈α␈CM␈ε∩␈α3␈εα␈α(1960),␈α508.
␈β∞O␈↓ ↓6␈ε∩*␈↓ ↓H␈ε∩Bilinear␈α
forms.␈εα␈α≤Sev␈α␈eral␈α
of␈α∞the␈α
problems␈α∞w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α∞considered␈α
in␈α∞this␈α
section␈α
are
␈β∞z␈↓ ↓H␈εαspecial␈αcases␈αof␈αthe␈αgeneral␈αproblem␈αof␈αevaluating␈αa␈αset␈αof␈ε∂␈αbilinear␈αforms
␈β∂.␈↓ ∧o␈ε↓X
␈β∂Q␈↓ β|␈ελz␈↓ ∧!␈εα=␈↓ ¬I␈ελa␈↓ ε↓␈ελx␈↓ ε≥␈ελy␈↓ ε;␈εα,␈↓ π∪␈εαfor␈↓ πK␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ∃␈ελk␈↓ λ1␈ε⊗∀␈↓ λ←␈ελs␈↓ λn␈εα,␈↓ 
p␈εα(45)
␈β∂←␈↓ ∧λ␈εk␈↓ ¬Y␈εi␈↓ ¬e␈εj␈↓ ¬r␈εk␈↓ ε⊃␈εi␈↓ ε.␈εj
␈β⊂↓␈↓ ∧R␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ∧⎇␈εi␈↓ ¬	␈ε→∀␈↓ ¬&␈εm
␈β⊂≤␈↓ ∧U␈ε¬1␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬∞␈ε→∀␈↓ ¬*␈εn
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈↓ αo␈ελa␈↓ β4␈εαare␈αspeci|c␈α
coe}cien␈α␈ts␈αbelonging␈α
to␈α
some␈αgiv␈α␈en␈α
|eld.␈α∞The␈αthree-
␈β⊂S␈↓ β␈εi␈↓ β␈εj␈↓ β_␈εk
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαdimensional␈αarray␈α(␈↓ βx␈ελa␈↓ ∧0␈εα)␈αis␈αcalled␈αan␈↓ εα␈ελm␈↓ ε(␈ε⊗α␈↓ εS␈ελn␈↓ εp␈ε⊗α␈↓ π≠␈ελs␈↓ π5␈ε∂tensor␈εα,␈αand␈αw␈α␈e␈αcan␈αdisplay␈αit␈αby
␈β⊂}␈↓ ∧	␈εi␈↓ ∧∃␈εj␈↓ ∧"␈εk
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαwriting␈α
do␈α␈wn␈↓ β∨␈ελs␈↓ β9␈εαmatrices␈α
of␈αsize␈↓ ¬2␈ελm␈↓ ¬X␈ε⊗α␈↓ εα␈ελn␈↓ ε↔␈εα,␈αone␈α
for␈αeach␈α
value␈αof␈↓ λz␈ελk␈↓ 	␈εα.␈αFor␈αexample,␈α
the
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα469
␈βα(␈↓ ↓H␈εαproblem␈αof␈αm␈α␈ultiplying␈αcomplex␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αnamely␈αthe␈αproblem␈αof␈αevaluating
␈βα␈␈↓ αP␈ελz␈↓ αr␈εα+␈↓ β≡␈ελi␈↓ β,␈ελz␈↓ βP␈εα=␈α
(␈↓ ∧
␈ελx␈↓ ∧1␈εα+␈↓ ∧]␈ελi␈↓ ∧k␈ελx␈↓ ¬
␈εα)(␈↓ ¬"␈ελy␈↓ ¬J␈εα+␈↓ ¬v␈ελi␈↓ ε∧␈ελy␈↓ ε#␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ εs␈ελx␈↓ π∩␈ελy␈↓ π1␈ε⊗␈␈↓ πU␈ελx␈↓ πt␈ελy␈↓ λ∀␈εα)␈αλ+␈↓ λT␈ελi␈↓ λb␈εα(␈↓ λn␈ελx␈↓ 	
␈ελy␈↓ 	,␈εα+␈↓ 	P␈ελx␈↓ 	o␈ελy␈↓ 
∞␈εα),␈↓ 
p␈εα(46)
␈ββ
␈↓ α\␈ε¬1␈↓ β8␈ε¬2␈↓ ∧≠␈ε¬1␈↓ ∧|␈ε¬2␈↓ ¬3␈ε¬1␈↓ ε∃␈ε¬2␈↓ π∧␈ε¬1␈↓ π#␈ε¬1␈↓ πf␈ε¬2␈↓ λ¬␈ε¬2␈↓ λ}␈ε¬1␈↓ 	≡␈ε¬2␈↓ 	a␈ε¬2␈↓ 
␈ε¬1
␈ββV␈↓ ↓H␈εαis␈αthe␈αproblem␈αof␈αcomputing␈αthe␈αbilinear␈αform␈αspeci|ed␈αby␈αthe␈α2␈ε⊗␈αλα␈εα␈απ2␈ε⊗␈απα␈εα␈αλ2␈αtensor
␈β∧'␈↓ ¬∨␈ε↓∩␈↓ ε∨␈ε↓∪␈↓ εY␈ε↓∩␈↓ π5␈ε↓∪
␈β∧*␈↓ ¬9␈εα1␈↓ ¬w␈εα0␈↓ εs␈εα0␈↓ π∨␈εα1
␈β∧A␈↓ πK␈εα.
␈β∧Y␈↓ ¬9␈εα0␈↓ ¬e␈ε⊗␈␈εα1␈↓ εs␈εα1␈↓ π∨␈εα0
␈β¬.␈↓ ↓H␈εαMatrix␈α∂m␈α␈ultiplication␈α⊂as␈α⊂de|ned␈α∂in␈α⊂(34)␈α⊂is␈α∂the␈α⊂problem␈α⊂of␈α∂evaluating␈α⊂a␈α⊂set␈α∂of
␈β¬Y␈↓ ↓H␈εαbilinear␈α	forms␈α	corresponding␈α	to␈α
a␈α	particular␈↓ εs␈ελm␈↓ π∪␈ελn␈↓ π-␈ε⊗α␈↓ πU␈ελn␈↓ πk␈ελs␈↓ π}␈ε⊗α␈↓ λ&␈ελm␈↓ λF␈ελs␈↓ λ↑␈εαtensor.␈αFourier␈α	trans-
␈βε∧␈↓ ↓H␈εαforms␈α
(37)␈αcan␈αalso␈αbe␈αcast␈αin␈α
this␈αmold,␈αif␈αw␈α␈e␈αlet␈αthe␈↓ λ¬␈ελx␈↓ λ_␈εα's␈αbe␈αconstan␈α␈t␈αrather␈α
than
␈βε/␈↓ ↓H␈εαvariable.
␈βε[␈↓ α␈εαThe␈α∂evaluation␈α∂of␈α∂bilinear␈α⊂forms␈α∂is␈α∂most␈α∂easily␈α∂studied␈α∂if␈α∂w␈α␈e␈α∂restrict␈α∂our-
␈βπε␈↓ ↓H␈εαselv␈α␈es␈α∂to␈α∂what␈α∂migh␈α␈t␈α∂be␈α∂called␈ε∂␈α⊂normal␈εα␈α∂evaluation␈α∂schemes,␈α⊂in␈α∂which␈α∂all␈α∂chain
␈βπ1␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplications␈α
tak␈α␈e␈α
place␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α
a␈α∞linear␈α
com␈α␈bination␈α∞of␈α
the␈↓ 	5␈ελx␈↓ 	H␈εα's␈α∞and␈α
a␈α
linear
␈βπ\␈↓ ↓H␈εαcom␈α␈bination␈αof␈αthe␈↓ β⎇␈ελy␈↓ ∧⊃␈εα's.␈αTh␈α␈us,␈αw␈α␈e␈αform␈↓ ε/␈ελt␈↓ εH␈εαproducts
␈βλ3␈↓ α⊂␈ελw␈↓ α:␈εα=␈α
(␈↓ αt␈ελ␈↓ β"␈ελx␈↓ βI␈εα+␈↓ βu␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧'␈εα+␈↓ ∧S␈ελ␈↓ ¬␈ελx␈↓ ¬7␈εα)(␈↓ ¬O␈ελ␈␈↓ ¬|␈ελy␈↓ ε$␈εα+␈↓ εP␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πα␈εα+␈↓ π.␈ελ␈␈↓ π↑␈ελy␈↓ λ↓␈εα)␈↓ λU␈εαfor␈↓ 	
␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	W␈ελl␈↓ 	l␈ε⊗∀␈↓ 
~␈ελt␈↓ 
'␈εα,␈↓ 
p␈εα(47)
␈βλA␈↓ α'␈εl␈↓ βε␈ε¬1␈↓ β∃␈εl␈↓ β2␈ε¬1␈↓ ∧e␈εm␈↓ ∧␈␈εl␈↓ ¬≥␈εm␈↓ ¬a␈ε¬1␈↓ ¬o␈εl␈↓ ε
␈ε¬1␈↓ π@␈εn␈↓ πR␈εl␈↓ πo␈εn
␈β	
␈↓ ↓H␈εαand␈αobtain␈αthe␈↓ β<␈ελz␈↓ βK␈εα's␈αas␈αlinear␈αcom␈α␈binations␈αof␈αthese␈αproducts,
␈β	a␈↓ βW␈ελz␈↓ β{␈εα=␈↓ ∧)␈ελ␈
␈↓ ∧W␈ελw␈↓ ¬¬␈εα+␈↓ ¬1␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬c␈εα+␈↓ ε∂␈ελ␈
␈↓ ε>␈ελw␈↓ εa␈εα,␈↓ π9␈εαfor␈↓ πq␈εα1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ;␈ελk␈↓ λV␈ε⊗∀␈↓ 	∧␈ελs␈↓ 	∪␈εα.␈↓ 
p␈εα(48)
␈β	o␈↓ βc␈εk␈↓ ∧:␈εk␈↓ ∧I␈ε¬1␈↓ ∧o␈ε¬1␈↓ ε ␈εk␈↓ ε/␈εt␈↓ εV␈εt
␈β
8␈↓ ↓H␈εαHere␈α
all␈αthe␈↓ βλ␈ελ␈↓ β≤␈εα's,␈↓ βI␈ελ␈␈↓ β←␈εα's,␈αand␈↓ ∧Q␈ελ␈
␈↓ ∧e␈εα's␈αbelong␈α
to␈αa␈αgiv␈α␈en␈α|eld␈α
of␈αcoe}cien␈α␈ts.␈αBy␈α
comparing
␈β
d␈↓ ↓H␈εα(48)␈α∂to␈α∂(45),␈α⊂w␈α␈e␈α∂see␈α∂that␈α∂a␈α∂normal␈α∂evaluation␈α∂scheme␈α∂is␈α∂correct␈α∂for␈α∂the␈α∂tensor
␈β∂␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελa␈↓ α␈εα)␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈β≤␈↓ ↓d␈εi␈↓ ↓p␈εj␈↓ ↓⎇␈εk
␈βf␈↓ ∧/␈ελa␈↓ ∧q␈εα=␈↓ ¬∨␈ελ␈↓ ¬L␈ελ␈␈↓ ¬z␈ελ␈
␈↓ ε0␈εα+␈↓ ε\␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∞␈εα+␈↓ π:␈ελ␈↓ πg␈ελ␈␈↓ λ⊗␈ελ␈
␈↓ 
p␈εα(49)
␈βs␈↓ ∧@␈εi␈↓ ∧L␈εj␈↓ ∧Y␈εk␈↓ ¬2␈εi␈↓ ¬>␈ε¬1␈↓ ¬↑␈εj␈↓ ¬k␈ε¬1␈↓ ε␈εk␈↓ ε→␈ε¬1␈↓ πL␈εi␈↓ πX␈εt␈↓ πy␈εj␈↓ λπ␈εt␈↓ λ'␈εk␈↓ λ5␈εt
␈β=␈↓ ↓H␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ αJ␈ελi␈↓ αb␈ε⊗∀␈↓ β⊂␈ελm␈↓ β/␈εα,␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ∧∂␈ελj␈↓ ∧*␈ε⊗∀␈↓ ∧X␈ελn␈↓ ∧m␈εα,␈αand␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ ε∪␈ελk␈↓ ε/␈ε⊗∀␈↓ ε]␈ελs␈↓ εl␈εα.
␈βh␈↓ α␈εαA␈α∞nonzero␈α∞tensor␈α∞(␈↓ ∧6␈ελa␈↓ ∧n␈εα)␈α∞is␈α∞said␈α∞to␈α∞be␈α∞of␈α∞rank␈α∞one␈α∞if␈α∞there␈α∞are␈α
three␈α∞v␈α␈ectors
␈βv␈↓ ∧G␈εi␈↓ ∧R␈εj␈↓ ∧←␈εk
␈β
∀␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελ␈↓ ↓u␈εα,␈↓ α¬␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α5␈εα,␈↓ αE␈ελ␈↓ αr␈εα),␈α
(␈↓ β!␈ελ␈␈↓ βB␈εα,␈↓ βR␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧α␈εα,␈↓ ∧∩␈ελ␈␈↓ ∧6␈εα),␈α
(␈↓ ∧e␈ελ␈
␈↓ ¬¬␈εα,␈↓ ¬∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬E␈εα,␈↓ ¬U␈ελ␈
␈↓ ¬r␈εα)␈α∞such␈α
that␈↓ π/␈ελa␈↓ πs␈εα=␈↓ λ#␈ελ␈↓ λB␈ελ␈␈↓ λe␈ελ␈
␈↓ 	∩␈εαfor␈α
all␈↓ 	}␈ελi␈↓ 
␈εα,␈↓ 
$␈ελj␈↓ 
5␈εα,␈↓ 
L␈ελk␈↓ 
↑␈εα.␈α⊂We
␈β
!␈↓ ↓f␈ε¬1␈↓ αX␈εm␈↓ β3␈ε¬1␈↓ ∧$␈εn␈↓ ∧v␈ε¬1␈↓ ¬f␈εs␈↓ π?␈εi␈↓ πK␈εj␈↓ πX␈εk␈↓ λ6␈εi␈↓ λT␈εj␈↓ λv␈εk
␈β
?␈↓ ↓H␈εαcan␈α
extend␈α
this␈α
de|nition␈α
to␈α
all␈α
tensors␈α
by␈α
saying␈α
that␈ε∂␈αthe␈α
rank␈α
of␈εα␈α
(␈↓ 
∧␈ελa␈↓ 
<␈εα)␈ε∂␈α
is␈α
the
␈β
L␈↓ 
∃␈εi␈↓ 
!␈εj␈↓ 
.␈εk
␈β
j␈↓ ↓H␈ε∂minim␈α␈um␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈↓ βd␈ελt␈↓ βz␈ε∂such␈αλthat␈εα␈α	(␈↓ ¬∨␈ελa␈↓ ¬W␈εα)␈ε∂␈α	is␈αλexpressible␈α	as␈αλthe␈α	sum␈α	of␈↓ 	⊗␈ελt␈↓ 	,␈ε∂rank-one␈αλtensors
␈β
w␈↓ ¬0␈εi␈↓ ¬;␈εj␈↓ ¬H␈εk
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαin␈α
the␈α
giv␈α␈en␈α
|eld.␈αComparing␈α
this␈α
de|nition␈α
with␈α
Eq.␈α
(49)␈α
sho␈α␈ws␈α
that␈α
the␈α	rank␈α
of
␈β∞@␈↓ ↓H␈εαa␈α
tensor␈αis␈αthe␈αminim␈α␈um␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αchain␈αm␈α␈ultiplications␈α
in␈αa␈αnormal␈α
evaluation
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈α∞corresponding␈α∞bilinear␈α∞forms.␈α⊃Inciden␈α␈tally,␈α∞when␈↓ λC␈ελs␈↓ λ↑␈εα=␈α
1␈α∞the␈α∞tensor␈α
(␈↓ 
h␈ελa␈↓  ␈εα)
␈β∞y␈↓ 
y␈εi␈↓ ¬␈εj␈↓ ∩␈εk
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαis␈α
just␈α
an␈α
ordinary␈α
matrix,␈α
and␈α
the␈α∞rank␈α
of␈α
(␈↓ π⊂␈ελa␈↓ πH␈εα)␈α
as␈α
a␈α
tensor␈α
is␈α
the␈α
same␈α
as␈α
its
␈β∂$␈↓ π!␈εi␈↓ π,␈εj␈↓ π9␈ε¬1
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαrank␈α
as␈α∞a␈α∞matrix␈α∞(see␈α∞ex␈α␈ercise␈α
49).␈α∩The␈α∞concept␈α
of␈α∞tensor␈α∞rank␈α∞was␈α
in␈α␈troduced
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαby␈αF.␈αL.␈αHitchcock␈αin␈ε∂␈αJ.␈αMath.␈αand␈αPh␈α␈ysics␈ε∩␈α6␈εα␈α(1927),␈α164↑189;␈αits␈αapplication␈αto
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαthe␈αcomplexity␈αof␈αpolynomial␈αevaluation␈αwas␈αpoin␈α␈ted␈αout␈α
in␈αan␈αimportan␈α␈t␈αpaper
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαby␈αV.␈αStrassen,␈ε∂␈αJ.␈αf␈↓ βx␈ε∂u␈↓ βy␈ε∂∪␈↓ ∧␈ε∂r␈αdie␈αreine␈αund␈αangew.␈αMath.␈ε∩␈α264␈εα␈α(1973),␈α184↑202.
␈β⊂o␈↓ α␈εαWinograd's␈α
scheme␈α(35)␈α
for␈αmatrix␈α
m␈α␈ultiplication␈α
is␈α\abnormal"␈α
because␈αit
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαmix␈α␈es␈↓ α,␈ελx␈↓ α?␈εα's␈αand␈↓ β'␈ελy␈↓ β;␈εα's␈αbefore␈αm␈α␈ultiplying␈αthem.␈αThe␈αStrassen-Winograd␈αscheme␈α(36),
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα470␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα(␈↓ ↓H␈εαon␈αthe␈αother␈αhand,␈αdoes␈αnot␈αrely␈αon␈αthe␈αcomm␈α␈utativity␈αof␈αm␈α␈ultiplication,␈αso␈αit␈αis
␈βαS␈↓ ↓H␈εαnormal.␈αIn␈α
fact,␈α(36)␈α
corresponds␈αto␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
way␈α
to␈αrepresen␈α␈t␈α
the␈α
4␈ε⊗␈αεα␈εα␈αε4␈ε⊗␈αεα␈εα␈α¬4
␈βαu␈↓ 
⊗␈εα∩
␈βα}␈↓ ↓H␈εαtensor␈αεfor␈αε2␈ε⊗␈α↓α␈εα2␈αεmatrix␈απm␈α␈ultiplication␈αεas␈αεa␈απsum␈αεof␈αεsev␈α␈en␈απrank-one␈αεtensors␈αε(␈↓ 
⊗␈εα1␈↓ 
2␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα1):
␈ββ4␈↓ ↓U␈ε↓0␈↓ αD␈ε↓1␈↓ α\␈ε↓0␈↓ βJ␈ε↓1␈↓ βb␈ε↓0␈↓ ∧Q␈ε↓1␈↓ ∧i␈ε↓0␈↓ ¬W␈ε↓1␈↓ ε'␈ε↓0␈↓ π∃␈ε↓1␈↓ π-␈ε↓0␈↓ λ≤␈ε↓1␈↓ λ4␈ε↓0␈↓ 	"␈ε↓1␈↓ 	:␈ε↓0␈↓ 
)␈ε↓1
␈ββT␈↓ ↓m␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ αt␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ βz␈ε∧0␈α	0␈α	1␈αλ0␈↓ ¬↓␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ ε?␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πE␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λL␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	R␈ε∧1␈α	0␈α	0␈αλ0
␈ββt␈↓ ↓U␈ε↓@␈↓ ↓m␈ε∧0␈α	1␈α	0␈α	0␈↓ αD␈ε↓A␈↓ α\␈ε↓@␈↓ αt␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ βJ␈ε↓A␈↓ βb␈ε↓@␈↓ βz␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ1␈↓ ∧Q␈ε↓A␈↓ ∧i␈ε↓@␈↓ ¬↓␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ ¬W␈ε↓A␈↓ ε'␈ε↓@␈↓ ε?␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ π∃␈ε↓A␈↓ π-␈ε↓@␈↓ πE␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λ≤␈ε↓A␈↓ λ4␈ε↓@␈↓ λL␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	"␈ε↓A␈↓ 	:␈ε↓@␈↓ 	R␈ε∧1␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ 
)␈ε↓A
␈ββ}␈↓ ¬y␈εα=
␈β∧∃␈↓ ↓m␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ αt␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ βz␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬↓␈ε∧0␈αλ0␈α	1␈α	0␈↓ ε?␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πE␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λL␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	R␈ε∧1␈α	0␈α	0␈αλ0
␈β∧5␈↓ ↓m␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ αt␈ε∧0␈α	1␈αλ0␈α	0␈↓ βz␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬↓␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	1␈↓ ε?␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πE␈ε∧1␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λL␈ε∧1␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	R␈ε∧1␈α	0␈α	0␈αλ0
␈β∧K␈↓ α-␈ε↓0␈↓ β≤␈ε↓1␈↓ β4␈ε↓0␈↓ ∧"␈ε↓1␈↓ ∧:␈ε↓0␈↓ ¬)␈ε↓1␈↓ ¬A␈ε↓0␈↓ ε/␈ε↓1␈↓ ε{␈ε↓0␈↓ πi␈ε↓1␈↓ λ↓␈ε↓0␈↓ λp␈ε↓1␈↓ 	λ␈ε↓0␈↓ 	v␈ε↓1␈↓ 
∞␈ε↓0␈↓ 
⎇␈ε↓1
␈β∧g␈↓ λI␈ε∧∩␈↓ λa␈ε∧∩␈↓ 
V␈ε∧∩␈↓ 
m␈ε∧∩
␈β∧k␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈β∧o␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈↓ λI␈ε∧1␈↓ λa␈ε∧1␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈↓ 
V␈ε∧1␈↓ 
m␈ε∧1
␈β¬␈↓ αE␈ε∧0␈α	1␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈β¬␈↓ α-␈ε↓@␈↓ β≤␈ε↓A␈↓ β4␈ε↓@␈↓ ∧"␈ε↓A␈↓ ∧:␈ε↓@␈↓ ¬)␈ε↓A␈↓ ¬A␈ε↓@␈↓ ε/␈ε↓A␈↓ ε{␈ε↓@␈↓ πi␈ε↓A␈↓ λ↓␈ε↓@␈↓ λp␈ε↓A␈↓ 	λ␈ε↓@␈↓ 	v␈ε↓A␈↓ 
∞␈ε↓@␈↓ 
⎇␈ε↓A
␈β¬∂␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0
␈β¬⊗␈↓ α↓␈εα+␈↓ εO␈εα+
␈β¬,␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈β¬/␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	1␈α	1␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	1␈αλ1
␈β¬L␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈β¬P␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0
␈β¬b␈↓ α-␈ε↓0␈↓ β≤␈ε↓1␈↓ β4␈ε↓0␈↓ ∧"␈ε↓1␈↓ ∧:␈ε↓0␈↓ ¬)␈ε↓1␈↓ ¬A␈ε↓0␈↓ ε/␈ε↓1␈↓ ε{␈ε↓0␈↓ πi␈ε↓1␈↓ λ↓␈ε↓0␈↓ λp␈ε↓1␈↓ 	λ␈ε↓0␈↓ 	v␈ε↓1␈↓ 
∞␈ε↓0␈↓ 
⎇␈ε↓1
␈βεα␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0
␈βε#␈↓ α-␈ε↓@␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ β≤␈ε↓A␈↓ β4␈ε↓@␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧"␈ε↓A␈↓ ∧:␈ε↓@␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬)␈ε↓A␈↓ ¬A␈ε↓@␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ ε/␈ε↓A␈↓ ε{␈ε↓@␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πi␈ε↓A␈↓ λ↓␈ε↓@␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ λp␈ε↓A␈↓ 	λ␈ε↓@␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 	v␈ε↓A␈↓ 
∞␈ε↓@␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ 
⎇␈ε↓A
␈βε-␈↓ α↓␈εα+␈↓ εO␈εα+
␈βε<␈↓ 	 ␈ε∧∩␈↓ 
&␈ε∧∩
␈βεC␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧1␈↓ 	8␈ε∧0␈αλ1␈α	0␈↓ 
&␈ε∧1␈↓ 
>␈ε∧0␈α	1␈αλ0
␈βε\␈↓ β{␈ε∧∩␈↓ ∧∪␈ε∧∩␈↓ 	O␈ε∧∩␈↓ 
V␈ε∧∩
␈βεc␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧1␈α	1␈↓ β{␈ε∧1␈↓ ∧∪␈ε∧1␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧1␈α	0␈↓ 	O␈ε∧1␈↓ 	g␈ε∧0␈↓ 
&␈ε∧1␈α	0␈↓ 
V␈ε∧1␈↓ 
m␈ε∧0
␈βεy␈↓ α-␈ε↓0␈↓ β≤␈ε↓1␈↓ β4␈ε↓0␈↓ ∧"␈ε↓1␈↓ ∧:␈ε↓0␈↓ ¬)␈ε↓1␈↓ ¬A␈ε↓0␈↓ ε/␈ε↓1␈↓ ε{␈ε↓0␈↓ πi␈ε↓1␈↓ λ↓␈ε↓0␈↓ λp␈ε↓1␈↓ 	λ␈ε↓0␈↓ 	v␈ε↓1␈↓ 
∞␈ε↓0␈↓ 
⎇␈ε↓1
␈βπ⊗␈↓ ¬→␈ε∧∩␈↓ λ→␈ε∧∩␈↓ 	 ␈ε∧∩␈↓ 
&␈ε∧∩
␈βπ→␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈βπ≥␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈↓ ¬→␈ε∧1␈↓ λ→␈ε∧1␈↓ λ1␈ε∧0␈α	1␈α	1␈↓ 	 ␈ε∧1␈↓ 	8␈ε∧0␈αλ1␈α	1␈↓ 
&␈ε∧1␈↓ 
>␈ε∧0␈α	1␈αλ1
␈βπ:␈↓ α-␈ε↓@␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ β≤␈ε↓A␈↓ β4␈ε↓@␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ∧"␈ε↓A␈↓ ∧:␈ε↓@␈↓ ¬)␈ε↓A␈↓ ¬A␈ε↓@␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ ε/␈ε↓A␈↓ ε{␈ε↓@␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ πi␈ε↓A␈↓ λ↓␈ε↓@␈↓ λp␈ε↓A␈↓ 	λ␈ε↓@␈↓ 	v␈ε↓A␈↓ 
∞␈ε↓@␈↓ 
⎇␈ε↓A
␈βπ=␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ1␈↓ λ→␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ 	 ␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ 
&␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ0
␈βπD␈↓ α↓␈εα+␈↓ εO␈εα+␈↓ ∃␈εα.
␈βπW␈↓ λI␈ε∧∩␈↓ λa␈ε∧∩␈↓ 	O␈ε∧∩␈↓ 	g␈ε∧∩␈↓ 
V␈ε∧∩␈↓ 
m␈ε∧∩
␈βπZ␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈βπ↑␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈αλ1␈↓ λ→␈ε∧1␈α	0␈↓ λI␈ε∧1␈↓ λa␈ε∧1␈↓ 	 ␈ε∧1␈α	0␈↓ 	O␈ε∧1␈↓ 	g␈ε∧1␈↓ 
&␈ε∧1␈α	0␈↓ 
V␈ε∧1␈↓ 
m␈ε∧1
␈βπw␈↓ ¬→␈ε∧∩␈↓ λ→␈ε∧∩␈↓ 	 ␈ε∧∩␈↓ 
&␈ε∧∩
␈βπ{␈↓ αE␈ε∧0␈α	0␈α	0␈α	0␈↓ βL␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0␈↓ ¬Y␈ε∧0␈αλ0␈α	0␈α	0␈↓ π∪␈ε∧0␈α	0␈αλ0␈α	0
␈βπ}␈↓ ∧R␈ε∧0␈α	0␈α	0␈↓ ¬→␈ε∧1␈↓ λ→␈ε∧1␈↓ λ1␈ε∧0␈α	1␈α	1␈↓ 	 ␈ε∧1␈↓ 	8␈ε∧0␈αλ1␈α	1␈↓ 
&␈ε∧1␈↓ 
>␈ε∧0␈α	1␈αλ1
␈βλ2␈↓ 
p␈εα(50)
␈βλb␈↓ α␈εαThe␈α
fact␈α∞that␈α
(49)␈α
is␈α∞symmetric␈α
in␈↓ ε;␈ελi␈↓ εI␈εα,␈↓ εa␈ελj␈↓ εq␈εα,␈↓ π	␈ελk␈↓ π(␈εαand␈α
in␈α␈varian␈α␈t␈α∞under␈α
a␈α
variety␈α
of
␈β	∞␈↓ ↓H␈εαtransformations␈α	mak␈α␈es␈α
the␈α	study␈α
of␈α	tensor␈α
rank␈α	mathematically␈α
tractable,␈α
and␈α	it
␈β	9␈↓ ↓H␈εαalso␈α	leads␈α
to␈α	some␈α	surprising␈α
consequences␈α	about␈α
bilinear␈α	forms.␈αWe␈α	can␈α	perm␈α␈ute
␈β	d␈↓ ↓H␈εαthe␈αλindices␈↓ αs␈ελi␈↓ β↓␈εα,␈↓ β∀␈ελj␈↓ β$␈εα,␈↓ β7␈ελk␈↓ βQ␈εαto␈αλobtain␈απ\transposed"␈αλbilinear␈αλforms,␈α	and␈αλthe␈αλtransposed␈απtensor
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαclearly␈α
has␈α
the␈α
same␈α
rank;␈αbut␈α
the␈αcorresponding␈α
bilinear␈α
forms␈α
are␈α
conceptually
␈β
:␈↓ ↓H␈εαquite␈αdi{eren␈α␈t.␈α
For␈α
example,␈αa␈α
normal␈αscheme␈α
for␈αevaluating␈α
an␈α(␈↓ 	V␈ελm␈↓ 	}␈ε⊗α␈↓ 
*␈ελn␈↓ 
@␈εα)␈αtimes
␈β
f␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελn␈↓ ↓q␈ε⊗α␈↓ α≤␈ελs␈↓ α+␈εα)␈αmatrix␈αproduct␈αimplies␈αthe␈αexistence␈αof␈αa␈αnormal␈αscheme␈αto␈αevaluate␈αan
␈β⊃␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελn␈↓ ↓s␈ε⊗α␈↓ α ␈ελs␈↓ α/␈εα)␈α∞times␈α∞(␈↓ β7␈ελs␈↓ βO␈ε⊗α␈↓ β|␈ελm␈↓ ∧≤␈εα)␈α∞matrix␈α∞product,␈α∞using␈α∞the␈α∞same␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞chain␈α
m␈α␈ulti-
␈β<␈↓ ↓H␈εαplications.␈αIn␈α
matrix␈α	terms␈α
these␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
problems␈α
hardly␈α	seem␈α
to␈α
be␈α
related␈α
to␈α	all←
␈βg␈↓ ↓H␈εαthey␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈e␈αdi{eren␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αof␈αdot␈αproducts␈αon␈α
v␈α␈ectors␈αof␈αdi{eren␈α␈t␈αsizes←but
␈β∩␈↓ ↓H␈εαin␈αtensor␈αterms␈αthey␈αare␈αequivalen␈α␈t.␈α_(Cf.␈αJ.␈αE.␈αHopcroft␈αand␈αJ.␈αMusinski,␈ε∂␈αSIAM
␈β>␈↓ ↓H␈ε∂J.␈αComputing␈ε∩␈α2␈εα␈α(1973),␈α159↑173.)
␈βi␈↓ α␈εαWhen␈α	the␈α	tensor␈αλ(␈↓ ∧ ␈ελa␈↓ ∧X␈εα)␈α	can␈α	be␈α	represen␈α␈ted␈αλas␈α	a␈α	sum␈αλ(49)␈α	of␈↓ 	␈ελt␈↓ 	"␈εαrank-one␈αλtensors,
␈βv␈↓ ∧1␈εi␈↓ ∧=␈εj␈↓ ∧J␈εk
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαlet␈↓ ↓z␈ελA␈↓ α∩␈εα,␈↓ α&␈ελB␈↓ α?␈εα,␈↓ αS␈ελC␈↓ αz␈εαbe␈αthe␈α
matrices␈α
(␈↓ ∧␈␈ελ␈↓ ¬%␈εα),␈α(␈↓ ¬R␈ελ␈␈↓ ¬y␈εα),␈α(␈↓ ε&␈ελ␈
␈↓ εM␈εα)␈α
of␈αrespectiv␈α␈e␈α
sizes␈↓ 	↓␈ελm␈↓ 	&␈ε⊗α␈↓ 	P␈ελt␈↓ 	]␈εα,␈↓ 	q␈ελn␈↓ 
␈ε⊗α␈↓ 
6␈ελt␈↓ 
C␈εα,␈↓ 
W␈ελs␈↓ 
l␈ε⊗α␈↓ ∃␈ελt␈↓ "␈εα;
␈β
!␈↓ ¬∩␈εi␈↓ ¬≥␈εl␈↓ ¬d␈εj␈↓ ¬q␈εl␈↓ ε7␈εk␈↓ εE␈εl
␈β
?␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αshall␈α
say␈α
that␈↓ βb␈ελA␈↓ βz␈εα,␈↓ ∧⊃␈ελB␈↓ ∧)␈εα,␈↓ ∧@␈ελC␈↓ ∧j␈εαis␈α
a␈ε∂␈αrealization␈εα␈α
of␈α
the␈α
tensor␈α(␈↓ λ@␈ελa␈↓ λx␈εα).␈α∂For␈αexample,␈α
the
␈β
M␈↓ λQ␈εi␈↓ λ]␈εj␈↓ λj␈εk
␈β
j␈↓ ↓H␈εαrealization␈α	of␈α
2␈ε⊗␈α¬α␈εα␈α¬2␈α
matrix␈α
m␈α␈ultiplication␈α
in␈α
(50)␈α	can␈α
be␈α
speci|ed␈α
by␈α
the␈α	matrices
␈β∞∨␈↓ α<␈ε↓0␈↓ ∧~␈ε↓1␈↓ ¬6␈ε↓0␈↓ π∀␈ε↓1␈↓ λ5␈ε↓0␈↓ 
∪␈ε↓1
␈β∞>␈↓ β⊂␈εα∩␈↓ βj␈εα∩␈↓ πα␈εα∩
␈β∞B␈↓ λM␈εα1␈α1␈α0␈α0␈α0␈α0␈α0
␈β∞G␈↓ αT␈εα1␈α0␈↓ β⊂␈εα1␈↓ β.␈εα0␈α0␈↓ βj␈εα1␈↓ ∧λ␈εα1␈↓ ¬N␈εα1␈α0␈α0␈α1␈α1␈α0␈↓ πα␈εα1
␈β∞`␈↓ α<␈ε↓B␈↓ ∧~␈ε↓C␈↓ ¬6␈ε↓B␈↓ π∀␈ε↓C␈↓ λ5␈ε↓B␈↓ 
∪␈ε↓C
␈β∞n␈↓ λM␈εα1␈α0␈α1␈α1␈α0␈α0␈α1
␈β∞r␈↓ αT␈εα0␈α1␈α0␈α0␈α0␈α1␈α0␈↓ ¬N␈εα0␈α1␈α0␈α1␈α0␈α0␈α0
␈β∞v␈↓ α<␈ε↓B␈↓ ∧~␈ε↓C␈↓ ¬6␈ε↓B␈↓ π∀␈ε↓C␈↓ λ5␈ε↓B␈↓ 
∪␈ε↓C
␈β∂␈↓ ↓l␈ελA␈↓ α∞␈εα=␈↓ ∧2␈εα,␈↓ ∧f␈ελB␈↓ ¬λ␈εα=␈↓ π,␈εα,␈↓ π`␈ελC␈↓ λπ␈εα=␈↓ 
+␈εα.␈↓ 
p␈εα(51)
␈β∂␈↓ α<␈ε↓@␈↓ ∧~␈ε↓A␈↓ ¬6␈ε↓@␈↓ π∀␈ε↓A␈↓ λ5␈ε↓@␈↓ 
∪␈ε↓A
␈β∂∀␈↓ βL␈εα∩␈↓ ∧λ␈εα∩␈↓ ε(␈εα∩␈↓ εF␈εα∩
␈β∂→␈↓ λM␈εα1␈α0␈α0␈α0␈α1␈α1␈α1
␈β∂≥␈↓ αT␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ βL␈εα1␈↓ βj␈εα1␈↓ ∧λ␈εα1␈↓ ¬N␈εα0␈α0␈α1␈↓ ε(␈εα1␈↓ εF␈εα1␈↓ εd␈εα0␈α1
␈β∂@␈↓ βj␈εα∩␈↓ ε(␈εα∩
␈β∂D␈↓ λM␈εα1␈α0␈α1␈α0␈α1␈α0␈α1
␈β∂I␈↓ αT␈εα0␈α0␈α0␈α1␈α1␈↓ βj␈εα1␈↓ ∧λ␈εα1␈↓ ¬N␈εα0␈α0␈α1␈↓ ε(␈εα1␈↓ εF␈εα0␈α1␈α1
␈β⊂∃␈↓ α␈εαAn␈↓ αE␈ελm␈↓ αk␈ε⊗α␈↓ β⊗␈ελn␈↓ β2␈ε⊗α␈↓ β]␈ελs␈↓ βw␈εαtensor␈α(␈↓ ∧n␈ελa␈↓ ¬&␈εα)␈αcan␈αalso␈αbe␈αrepresen␈α␈ted␈αas␈αa␈αmatrix␈αby␈αgrouping
␈β⊂#␈↓ ∧␈␈εi␈↓ ¬
␈εj␈↓ ¬_␈εk
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εαits␈αsubscripts␈αtogether.␈αWe␈αshall␈αwrite␈α(␈↓ ε0␈ελa␈↓ ε|␈εα)␈αfor␈αthe␈↓ λπ␈ελm␈↓ λ&␈ελn␈↓ λC␈ε⊗α␈↓ λm␈ελs␈↓ 	π␈εαmatrix␈αwhose␈αro␈α␈ws
␈β⊂O␈↓ εA␈ε¬(␈↓ εK␈εi␈↓ εV␈εj␈↓ εc␈ε¬)␈↓ εm␈εk
␈β⊂l␈↓ ↓H␈εαare␈αindex␈α␈ed␈αby␈αthe␈αpair␈αof␈αsubscripts␈ε⊗␈αh␈↓ ε≡␈ελi␈↓ ε,␈εα,␈↓ ε<␈ελj␈↓ εL␈ε⊗i␈εα␈αand␈αwhose␈αcolumns␈αare␈αindex␈α␈ed␈αby␈↓ ⊃␈ελk␈↓ "␈εα.
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈εαSimilarly,␈α
(␈↓ αy␈ελa␈↓ βD␈εα)␈α
stands␈αfor␈α
the␈↓ ¬E␈ελs␈↓ ¬]␈ε⊗α␈↓ ε	␈ελm␈↓ ε)␈ελn␈↓ εK␈εαmatrix␈α
that␈α
con␈α␈tains␈↓ 	≡␈ελa␈↓ 	c␈εαin␈α
ro␈α␈w␈↓ 
T␈ελk␈↓ 
r␈εαand
␈β⊃$␈↓ 	/␈εi␈↓ 	;␈εj␈↓ 	H␈εk
␈β⊃%␈↓ β	␈εk␈↓ β_␈ε¬(␈↓ β"␈εi␈↓ β-␈εj␈↓ β:␈ε¬)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα471
␈βα#␈↓ ↓H␈εαcolumn␈ε⊗␈α
h␈↓ αS␈ελi␈↓ αa␈εα,␈↓ αq␈ελj␈↓ β↓␈ε⊗i␈εα;␈α≠(␈↓ β>␈ελa␈↓ ∧
␈εα)␈α
is␈α
an␈↓ ∧{␈ελm␈↓ ¬≠␈ελs␈↓ ¬3␈ε⊗α␈↓ ¬←␈ελn␈↓ εα␈εαmatrix,␈α∞and␈α
so␈α
on.␈α⊂The␈α
indices␈α
of␈α
an␈α
array
␈βα1␈↓ βO␈ε¬(␈↓ βY␈εi␈↓ βd␈εk␈↓ βs␈ε¬)␈↓ β|␈εj
␈βαN␈↓ ↓H␈εαneed␈αnot␈αbe␈αin␈α␈tegers,␈αand␈αw␈α␈e␈αare␈αusing␈αordered␈αpairs␈αas␈αindices␈αhere.␈αWe␈αcan␈αuse
␈βαy␈↓ ↓H␈εαthis␈αnotation␈αto␈αderiv␈α␈e␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈αsimple␈αbut␈αuseful␈α
lo␈α␈w␈α␈er␈αbound␈αon␈αthe␈αrank
␈ββ$␈↓ ↓H␈εαof␈αa␈αtensor.
␈ββe␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈α∞T.␈ε∂␈α≤Let␈↓ βP␈ελA␈↓ βh␈ε∂,␈↓ ∧↓␈ελB␈↓ ∧→␈ε∂,␈↓ ∧2␈ελC␈↓ ∧]␈ε∂be␈α∞a␈α∞realization␈α∞of␈α∞an␈↓ πA␈ελm␈↓ πj␈ε⊗α␈↓ λ↔␈ελn␈↓ λ6␈ε⊗α␈↓ λc␈ελs␈↓ 	␈ε∂tensor␈εα␈α∞(␈↓ 	z␈ελa␈↓ 
2␈εα)␈ε∂.␈α∩Then
␈ββr␈↓ 
␈εi␈↓ 
↔␈εj␈↓ 
$␈εk
␈β∧⊂␈↓ ↓H␈εαrank␈↓ α⊂␈εα(␈↓ α≤␈ελA␈↓ α4␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ αx␈εαrank␈↓ β@␈εα(␈↓ βL␈ελa␈↓ ∧_␈εα)␈ε∂,␈↓ ∧:␈εαrank␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελB␈↓ ¬&␈εα)␈ε⊗␈α∃␈↓ ¬k␈εαrank␈↓ ε3␈εα(␈↓ ε?␈ελa␈↓ π
␈εα)␈ε∂,␈α
and␈↓ πs␈εαrank␈↓ λ;␈εα(␈↓ λG␈ελC␈↓ λd␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ 	)␈εαrank␈↓ 	q␈εα(␈↓ 	⎇␈ελa␈↓ 
H␈εα)␈ε∂;␈αcon-
␈β∧≡␈↓ β]␈εi␈↓ βi␈ε¬(␈↓ βr␈εj␈↓ ∧␈εk␈↓ ∧∞␈ε¬)␈↓ εP␈εj␈↓ ε]␈ε¬(␈↓ εg␈εi␈↓ εr␈εk␈↓ π↓␈ε¬)␈↓ 
∞␈εk␈↓ 
≤␈ε¬(␈↓ 
&␈εi␈↓ 
1␈εj␈↓ 
>␈ε¬)
␈β∧;␈↓ ↓H␈ε∂sequen␈α␈tly
␈β∧p␈↓ ¬ ␈ε↓␈␈↓ 	P␈ε↓↓
␈β¬⊂␈↓ β␈εαrank␈↓ βT␈εα(␈↓ β`␈ελa␈↓ ∧_␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ ∧\␈εαmax␈↓ ¬.␈εαrank␈↓ ¬v␈εα(␈↓ εα␈ελa␈↓ εM␈εα),␈↓ εi␈εαrank␈↓ π1␈εα(␈↓ π=␈ελa␈↓ λ	␈εα),␈↓ λ%␈εαrank␈↓ λm␈εα(␈↓ λy␈ελa␈↓ 	D␈εα)␈↓ 	↑␈εα.
␈β¬≥␈↓ βq␈εi␈↓ β|␈εj␈↓ ∧
␈εk
␈β¬≡␈↓ ε∪␈εi␈↓ ε≡␈ε¬(␈↓ ε(␈εj␈↓ ε5␈εk␈↓ εD␈ε¬)␈↓ πN␈εj␈↓ π[␈ε¬(␈↓ πe␈εi␈↓ πq␈εk␈↓ π␈␈ε¬)␈↓ 		␈εk␈↓ 	_␈ε¬(␈↓ 	"␈εi␈↓ 	-␈εj␈↓ 	:␈ε¬)
␈β¬e␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≠It␈α
su}ces␈α
by␈α
symmetry␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α
that␈↓ π~␈ελt␈↓ π2␈ε⊗∃␈↓ πb␈εαrank␈↓ λ*␈εα(␈↓ λ6␈ελA␈↓ λN␈εα)␈ε⊗␈α∃␈↓ 	⊗␈εαrank␈↓ 	↑␈εα(␈↓ 	j␈ελa␈↓ 
5␈εα).␈α∂Since
␈β¬s␈↓ 	{␈εi␈↓ 
ε␈ε¬(␈↓ 
⊂␈εj␈↓ 
≥␈εk␈↓ 
,␈ε¬)
␈βε⊂␈↓ ↓H␈ελA␈↓ ↓o␈εαis␈α⊂an␈↓ αM␈ελm␈↓ αw␈ε⊗α␈↓ β%␈ελt␈↓ βB␈εαmatrix,␈α⊂it␈α⊂is␈α∂obvious␈α⊂that␈↓ εo␈ελA␈↓ π⊗␈εαcannot␈α⊂hav␈α␈e␈α⊂rank␈α∂greater␈α⊂than␈↓ ∃␈ελt␈↓ "␈εα.
␈βε;␈↓ ↓H␈εαFurthermore,␈α
according␈αto␈α
(49),␈αthe␈α
matrix␈α
(␈↓ ε|␈ελa␈↓ πG␈εα)␈αis␈α
equal␈α
to␈↓ 	π␈ελA␈↓ 	∨␈ελQ␈↓ 	9␈εα,␈α
where␈↓ 
4␈ελQ␈↓ 
X␈εαis␈α
the
␈βεI␈↓ π
␈εi␈↓ π_␈ε¬(␈↓ π"␈εj␈↓ π/␈εk␈↓ π>␈ε¬)
␈βεg␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓Z␈ε⊗α␈↓ αα␈ελn␈↓ α_␈ελs␈↓ α1␈εαmatrix␈α	de|ned␈α
by␈↓ ∧P␈ελQ␈↓ ¬1␈εα=␈↓ ¬←␈ελ␈␈↓ ε␈ελ␈
␈↓ ε7␈εα.␈αIf␈↓ εn␈ελx␈↓ π␈εαis␈α	an␈α␈y␈α
ro␈α␈w␈α
v␈α␈ector␈α	such␈α
that␈↓ 
8␈ελx␈↓ 
J␈ελA␈↓ 
l␈εα=␈α
0
␈βεt␈↓ ¬q␈εj␈↓ ¬}␈εl␈↓ ε≤␈εk␈↓ ε+␈εl
␈βεu␈↓ ∧h␈εl␈↓ ∧p␈ε→h␈↓ ∧y␈εj␈↓ ¬π␈ε¬,␈↓ ¬∂␈εk␈↓ ¬≥␈ε→i
␈βπ∩␈↓ ↓H␈εαthen␈↓ α≤␈ελx␈↓ α.␈ελA␈↓ αF␈ελQ␈↓ αn␈εα=␈α
0,␈α∞hence␈α∞all␈α∞linear␈α∞dependencies␈α
in␈↓ πN␈ελA␈↓ πt␈εαoccur␈α∞also␈α∞in␈↓ 	L␈ελA␈↓ 	d␈ελQ␈↓ 	}␈εα.␈α∩It␈α
follo␈α␈ws
␈βπ=␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈εαrank␈↓ α↑␈εα(␈↓ αj␈ελA␈↓ βα␈ελQ␈↓ β≤␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ β`␈εαrank␈↓ ∧(␈εα(␈↓ ∧4␈ελA␈↓ ∧L␈εα).
␈βπB␈↓ ¬	␈∧πB¬	≠∂
␈βπ⎇␈↓ α␈εαAs␈α	an␈α	example␈α	of␈α	the␈α	use␈α	of␈αλLemma␈α	T␈↓ εS␈εα,␈α
let␈α	us␈α	consider␈α	the␈α	problem␈α	of␈αλpolyno-
␈βλ(␈↓ ↓H␈εαmial␈α
m␈α␈ultiplication.␈αSuppose␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α
to␈α
m␈α␈ultiply␈α
a␈α
general␈α
polynomial␈α	of␈α
degree
␈βλS␈↓ ↓H␈εα2␈αby␈αa␈αgeneral␈αpolynomial␈αof␈αdegree␈α3,␈αobtaining␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈αthe␈αproduct:
␈β	"␈↓ βD␈ε¬2␈↓ ¬\␈ε¬2␈↓ εS␈ε¬3
␈β	(␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελx␈↓ ↓{␈εα+␈↓ α'␈ελx␈↓ αF␈ελu␈↓ αc␈εα+␈↓ β∂␈ελx␈↓ β.␈ελu␈↓ βR␈εα)(␈↓ βj␈ελy␈↓ ∧∩␈εα+␈↓ ∧>␈ελy␈↓ ∧]␈ελu␈↓ ∧{␈εα+␈↓ ¬'␈ελy␈↓ ¬F␈ελu␈↓ ¬r␈εα+␈↓ ε≡␈ελy␈↓ ε>␈ελu␈↓ εb␈εα)
␈β	6␈↓ ↓d␈ε¬0␈↓ α7␈ε¬1␈↓ β ␈ε¬2␈↓ β{␈ε¬0␈↓ ∧O␈ε¬1␈↓ ¬8␈ε¬2␈↓ ε/␈ε¬3
␈β	X␈↓ π9␈ε¬2␈↓ λ+␈ε¬3␈↓ 	≡␈ε¬4␈↓ 
⊂␈ε¬5
␈β	↑␈↓ ¬(␈εα=␈↓ ¬V␈ελz␈↓ ¬y␈εα+␈↓ ε%␈ελz␈↓ ε?␈ελu␈↓ ε]␈εα+␈↓ π	␈ελz␈↓ π#␈ελu␈↓ πO␈εα+␈↓ π{␈ελz␈↓ λ∃␈ελu␈↓ λB␈εα+␈↓ λn␈ελz␈↓ 	λ␈ελu␈↓ 	4␈εα+␈↓ 	`␈ελz␈↓ 	z␈ελu␈↓ 
≡␈εα.␈↓ 
p(52)
␈β	l␈↓ ¬b␈ε¬0␈↓ ε1␈ε¬1␈↓ π∃␈ε¬2␈↓ λπ␈ε¬3␈↓ λz␈ε¬4␈↓ 	l␈ε¬5
␈β
3␈↓ ↓H␈εαThis␈αλis␈αλthe␈αλproblem␈α	of␈αλevaluating␈αλsix␈αλbilinear␈α	forms␈αλcorresponding␈αλto␈αλthe␈α	3␈ε⊗␈ααα␈εα␈αβ4␈ε⊗␈αβα␈εα␈αβ6
␈β
←␈↓ ↓H␈εαtensor
␈β&␈↓ αg␈ε↓ ␈↓ βj␈ε↓!␈↓ ∧↓␈ε↓ ␈↓ ¬∧␈ε↓!␈↓ ¬≠␈ε↓ ␈↓ ε≡␈ε↓!␈↓ ε5␈ε↓ ␈↓ π8␈ε↓!␈↓ πO␈ε↓ ␈↓ λR␈ε↓!␈↓ λi␈ε↓ ␈↓ 	l␈ε↓!
␈β*␈↓ α}␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ ∧_␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ ¬2␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ εL␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ πf␈εα0␈α0␈α0␈α0␈↓ 	␈εα0␈α0␈α0␈α0
␈βK␈↓ 
β␈εα.␈↓ 
p␈εα(53)
␈βN␈↓ α}␈εα0␈α0␈α0␈α0␈↓ ∧_␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ ¬2␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ εL␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ πf␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ 	␈εα0␈α0␈α0␈α0
␈βr␈↓ α}␈εα0␈α0␈α0␈α0␈↓ ∧_␈εα0␈α0␈α0␈α0␈↓ ¬2␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ εL␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ πf␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ 	␈εα0␈α0␈α0␈α1
␈β@␈↓ ↓H␈εαFor␈αbrevity,␈αw␈α␈e␈αmay␈αwrite␈α(52)␈αas␈↓ ¬c␈ελx␈↓ ¬v␈εα(␈↓ εα␈ελu␈↓ ε_␈εα)␈↓ ε$␈ελy␈↓ ε8␈εα(␈↓ εD␈ελu␈↓ εY␈εα)␈α
=␈↓ π≥␈ελz␈↓ π,␈εα(␈↓ π8␈ελu␈↓ πN␈εα),␈αletting␈↓ λ`␈ελx␈↓ λs␈εα(␈↓ λ␈␈ελu␈↓ 	∃␈εα)␈αdenote␈αthe␈αpoly-
␈βf␈↓ ∧#␈ε¬2
␈βl␈↓ ↓H␈εαnomial␈↓ α<␈ελx␈↓ αa␈εα+␈↓ β␈ελx␈↓ β*␈ελu␈↓ βE␈εα+␈↓ βo␈ελx␈↓ ∧∞␈ελu␈↓ ∧2␈εα,␈α
etc.␈αNote␈α
that␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α
come␈αfull␈α
circle␈α
from␈αthe␈α
way␈α
w␈α␈e
␈βy␈↓ αM␈ε¬0␈↓ β≠␈ε¬1␈↓ β␈␈ε¬2
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαbegan␈α	this␈α
section,␈α	since␈α
Eq.␈α	(1)␈α
refers␈α	to␈↓ ε@␈ελu␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελx␈↓ εt␈εα),␈α
not␈↓ πQ␈ελx␈↓ πd␈εα(␈↓ πp␈ελu␈↓ λε␈εα);␈α
the␈α
notation␈α	has␈α	changed
␈β
B␈↓ ↓H␈εαbecause␈α	the␈ε∂␈α	coe}cien␈α␈ts␈εα␈α
of␈α	the␈α	polynomials␈α
are␈α	no␈α␈w␈α
the␈α	variables␈α	of␈α
in␈α␈terest␈α	to␈α	us.
␈β
m␈↓ α␈εαIf␈α
each␈α	of␈α
the␈α	six␈α
matrices␈α	in␈α
(53)␈α	is␈α
regarded␈α	as␈α
a␈α	v␈α␈ector␈α
of␈α	length␈α
12␈α	index␈α␈ed
␈β∞_␈↓ ↓H␈εαby␈ε⊗␈α⊃h␈↓ α
␈ελi␈↓ α~␈εα,␈↓ α*␈ελj␈↓ α;␈ε⊗i␈εα,␈α∩it␈α⊃is␈α⊃clear␈α⊃that␈α⊃the␈α⊃v␈α␈ectors␈α⊃are␈α⊂linearly␈α⊃independen␈α␈t,␈α∪since␈α⊃they␈α⊂are
␈β∞D␈↓ ↓H␈εαnonzero␈αin␈αdi{eren␈α␈t␈αpositions;␈αhence␈αthe␈αrank␈α
of␈α(53)␈αis␈αat␈αleast␈α6␈αby␈αLemma␈αT␈↓ "␈εα.
␈β∞o␈↓ ↓H␈εαCon␈α␈v␈α␈ersely,␈αit␈αis␈αpossible␈αto␈αobtain␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈↓ πh␈ελz␈↓ λα␈εα,␈↓ λ_␈ελz␈↓ λ3␈εα,␈↓ λH␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λx␈εα,␈↓ 	∞␈ελz␈↓ 	5␈εαby␈αmaking␈αonly
␈β∞|␈↓ πt␈ε¬0␈↓ λ$␈ε¬1␈↓ 	~␈ε¬5
␈β∂~␈↓ ↓H␈εαsix␈αchain␈αm␈α␈ultiplications,␈αfor␈αexample␈αby␈αcomputing
␈β∂o␈↓ ∧>␈ελx␈↓ ∧P␈εα(0)␈↓ ∧z␈ελy␈↓ ¬∂␈εα(0),␈↓ ¬S␈ελx␈↓ ¬e␈εα(1)␈↓ ε∂␈ελy␈↓ ε#␈εα(1),␈↓ εg␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π↔␈εα,␈↓ π1␈ελx␈↓ πD␈εα(5)␈↓ πn␈ελy␈↓ λα␈εα(5);␈↓ 
p␈εα(54)
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαthis␈α
giv␈α␈es␈αthe␈α
values␈αof␈↓ ∧5␈ελz␈↓ ∧D␈εα(0),␈↓ ¬β␈ελz␈↓ ¬∩␈εα(1),␈↓ ¬Q␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε↓␈εα,␈↓ ε⊗␈ελz␈↓ ε%␈εα(5),␈αand␈α
the␈αform␈α␈ulas␈α
dev␈α␈eloped␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
for
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαin␈α␈terpolation␈αλwill␈α	yield␈αλthe␈α	coe}cien␈α␈ts␈αλof␈↓ εA␈ελz␈↓ εP␈εα(␈↓ ε\␈ελu␈↓ εq␈εα).␈αThe␈αλevaluation␈α	of␈↓ 	+␈ελx␈↓ 	>␈εα(␈↓ 	J␈ελj␈↓ 	[␈εα)␈αλand␈↓ 
2␈ελy␈↓ 
F␈εα(␈↓ 
R␈ελj␈↓ 
b␈εα)␈αλcan
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαbe␈α
carried␈α∞out␈α
en␈α␈tirely␈α∞in␈α
terms␈α∞of␈α
additions␈α
and/or␈α∞parameter␈α
m␈α␈ultiplications,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα472␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα(␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αin␈α␈terpolation␈αform␈α␈ula␈α
merely␈αtak␈α␈es␈αlinear␈α
com␈α␈binations␈αof␈αthese␈αvalues.
␈βαS␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈α⊂all␈α∂of␈α∂the␈α∂chain␈α∂m␈α␈ultiplications␈α∂are␈α⊂sho␈α␈wn␈α∂in␈α∂(54),␈α⊂and␈α∂the␈α∂rank␈α∂of␈α∂(53)
␈βα}␈↓ ↓H␈εαis␈α6.␈α~(We␈α
used␈αessen␈α␈tially␈α
this␈αsame␈α
technique␈αwhen␈α
m␈α␈ultiplying␈αhigh-precision
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαn␈α␈um␈α␈bers␈αin␈αAlgorithm␈α4.3.3C.)
␈ββU␈↓ α␈εαThe␈απrealization␈↓ β|␈ελA␈↓ ∧∀␈εα,␈↓ ∧%␈ελB␈↓ ∧>␈εα,␈↓ ∧P␈ελC␈↓ ∧t␈εαof␈αε(53)␈απsk␈α␈etched␈απin␈απthe␈απabo␈α␈v␈α␈e␈αεparagraph␈απturns␈απout␈απto␈αεbe
␈β∧ε␈↓ ε_␈ε↓0␈↓ 
3␈ε↓1
␈β∧&␈↓ εN␈ε∧12␈α↓0␈↓ πH␈ε∧0␈↓ λ#␈ε∧0␈↓ λ⎇␈ε∧0␈↓ 	X␈ε∧0␈↓ 
$␈ε∧0
␈β∧'␈↓ β↑␈ε↓0␈↓ ¬W␈ε↓1
␈β∧G␈↓ βv␈ε∧1␈↓ ∧∀␈ε∧1␈↓ ∧2␈ε∧1␈↓ ∧←␈ε∧1␈↓ ¬␈ε∧1␈↓ ¬H␈ε∧1␈↓ ε_␈ε↓B␈↓ ε0␈ε_␈␈ε∧␈α␈27␈α↓4␈↓ π)␈ε∧60␈α↓0␈↓ πe␈ε_␈␈ε∧60␈α↓0␈↓ λ←␈ε∧400␈↓ 	≠␈ε_␈␈ε∧150␈↓ 
∃␈ε∧24␈↓ 
3␈ε↓C
␈β∧W␈↓ ↓H␈ε↓∩␈↓ ↓↑␈ε∧1␈↓ ↓{␈ε∧1␈↓ α→␈ε∧1␈↓ α7␈ε∧1␈↓ αd␈ε∧1␈↓ β⊃␈ε∧1␈↓ β ␈ε↓∪
␈β∧]␈↓ ε_␈ε↓B␈↓ 
3␈ε↓C
␈β∧g␈↓ β↑␈ε↓@␈↓ βv␈ε∧0␈↓ ∧∀␈ε∧1␈↓ ∧2␈ε∧2␈↓ ∧←␈ε∧3␈↓ ¬␈ε∧4␈↓ ¬H␈ε∧5␈↓ ¬W␈ε↓A␈↓ εN␈ε∧22␈α↓5␈↓ π
␈ε_␈␈ε∧77␈α↓0␈↓ πu␈ε∧107␈α↓0␈↓ λ@␈ε_␈␈ε∧780␈↓ 	:␈ε∧305␈↓ 	v␈ε_␈␈ε∧50
␈β∧n␈↓ α␈ε¬1
␈β∧q␈↓ β6␈εα,␈↓ ¬o␈εα,␈↓ 
K␈ε⊗α␈↓ "␈εα.
␈β∧r␈↓ ε_␈ε↓B␈↓ 
3␈ε↓C
␈β∧w␈↓ ↓↑␈ε∧0␈↓ ↓{␈ε∧1␈↓ α→␈ε∧2␈↓ α7␈ε∧3␈↓ αd␈ε∧4␈↓ β⊃␈ε∧5
␈β¬α␈↓ 
s␈∧¬α
sα,
␈β¬∧␈↓ 
s␈ε¬1␈α↓20
␈β¬λ␈↓ βv␈ε∧0␈↓ ∧∀␈ε∧1␈↓ ∧2␈ε∧4␈↓ ∧←␈ε∧9␈↓ ∧|␈ε∧1␈α↓6␈↓ ¬9␈ε∧25␈↓ ε_␈ε↓@␈↓ ε?␈ε_␈␈ε∧␈α␈8␈α↓5␈↓ π)␈ε∧35␈α↓5␈↓ πe␈ε_␈␈ε∧59␈α↓0␈↓ λ←␈ε∧490␈↓ 	≠␈ε_␈␈ε∧205␈↓ 
∃␈ε∧35␈↓ 
3␈ε↓A
␈β¬_␈↓ ↓↑␈ε∧0␈↓ ↓{␈ε∧1␈↓ α→␈ε∧4␈↓ α7␈ε∧9␈↓ αT␈ε∧1␈α↓6␈↓ β↓␈ε∧2␈α↓5
␈β¬(␈↓ βv␈ε∧0␈↓ ∧∀␈ε∧1␈↓ ∧2␈ε∧8␈↓ ∧O␈ε∧2␈α↓7␈↓ ∧|␈ε∧6␈α↓4␈↓ ¬)␈ε∧1␈α↓25␈↓ ε]␈ε∧1␈α↓5␈↓ π~␈ε_␈␈ε∧␈α␈7␈α↓0␈↓ λ∧␈ε∧13␈α↓0␈↓ λ@␈ε_␈␈ε∧120␈↓ 	I␈ε∧55␈↓ 	v␈ε_␈␈ε∧10
␈β¬H␈↓ εN␈ε_␈␈ε∧1␈↓ πH␈ε∧5␈↓ πu␈ε_␈␈ε∧␈α␈1␈α↓0␈↓ λn␈ε∧10␈↓ 	:␈ε_␈␈ε∧␈α␈5␈↓ 
$␈ε∧1
␈β¬h␈↓ 
p␈εα(55)
␈βε∪␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us,␈αthe␈αscheme␈αdoes␈αindeed␈αrequire␈αthe␈αminim␈α␈um␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αchain␈αm␈α␈ultiplica-
␈βε?␈↓ ↓H␈εαtions,␈α∩but␈α⊃it␈α⊂is␈α⊃completely␈α⊃impractical␈α⊃because␈α⊃it␈α⊃in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α⊃so␈α⊃man␈α␈y␈α⊂additions
␈βεj␈↓ ↓H␈εαand␈αparameter␈αm␈α␈ultiplications.␈α
We␈α
shall␈αno␈α␈w␈α
study␈αa␈αpractical␈α
approach␈αto␈αthe
␈βπ∃␈↓ ↓H␈εαgeneration␈αof␈αmore␈αe}cien␈α␈t␈αschemes,␈αsuggested␈αby␈αS.␈αWinograd.
␈βπ@␈↓ α␈εαIn␈α
the␈α|rst␈α
place,␈α
to␈αevaluate␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ λ¬␈ελx␈↓ λ↔␈εα(␈↓ λ#␈ελu␈↓ λ9␈εα)␈↓ λE␈ελy␈↓ λY␈εα(␈↓ λe␈ελu␈↓ λ{␈εα)␈αwhen␈α
deg(␈↓ 
4␈ελx␈↓ 
G␈εα)␈α=␈↓ 
␈ελm
␈βπk␈↓ ↓H␈εαand␈αdeg(␈↓ αP␈ελy␈↓ αd␈εα)␈α
=␈↓ β(␈ελn␈↓ β=␈εα,␈αone␈αcan␈αuse␈αthe␈αiden␈α␈tity
␈βλ≥␈↓ ¬~␈ε↓␈␈↓ π;␈ε↓↓
␈βλ<␈↓ β`␈ελx␈↓ βs␈εα(␈↓ β␈␈ελu␈↓ ∧∃␈εα)␈↓ ∧!␈ελy␈↓ ∧5␈εα(␈↓ ∧A␈ελu␈↓ ∧V␈εα)␈α
=␈↓ ¬(␈ελx␈↓ ¬;␈εα(␈↓ ¬G␈ελu␈↓ ¬]␈εα)␈↓ ¬i␈ελy␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελu␈↓ ε∨␈εα)␈↓ ε1␈εαmod␈↓ ε{␈ελp␈↓ π
␈εα(␈↓ π→␈ελu␈↓ π/␈εα)␈↓ πQ␈εα+␈↓ π⎇␈ελx␈↓ λ'␈ελy␈↓ λJ␈ελp␈↓ λ\␈εα(␈↓ λh␈ελu␈↓ λ}␈εα),␈↓ 
p␈εα(56)
␈βλJ␈↓ λ
␈εm␈↓ λ8␈εn
␈β	
␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α#␈ελp␈↓ α6␈εα(␈↓ αB␈ελu␈↓ αW␈εα)␈α
is␈α	an␈α␈y␈α
monic␈α
polynomial␈α	of␈α
degree␈↓ π¬␈ελm␈↓ π*␈εα+␈↓ πS␈ελn␈↓ πh␈εα.␈αThe␈α	polynomial␈↓ 	⎇␈ελp␈↓ 
∂␈εα(␈↓ 
≠␈ελu␈↓ 
1␈εα)␈α	should
␈β	8␈↓ ↓H␈εαbe␈αchosen␈αso␈αthat␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ εβ␈ελx␈↓ ε∃␈εα(␈↓ ε!␈ελu␈↓ ε7␈εα)␈↓ εC␈ελy␈↓ εW␈εα(␈↓ εc␈ελu␈↓ εy␈εα)␈↓ π␈εαmod␈↓ πU␈ελp␈↓ πg␈εα(␈↓ πs␈ελu␈↓ λ	␈εα)␈αare␈αeasy␈αto␈αevaluate.
␈β	d␈↓ α␈εαIn␈α
the␈α
second␈α
place,␈α
to␈α
evaluate␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ λ1␈ελx␈↓ λD␈εα(␈↓ λP␈ελu␈↓ λf␈εα)␈↓ λr␈ελy␈↓ 	ε␈εα(␈↓ 	∩␈ελu␈↓ 	'␈εα)␈↓ 	9␈εαmod␈↓ 
β␈ελp␈↓ 
⊗␈εα(␈↓ 
"␈ελu␈↓ 
7␈εα),␈α
when
␈β	o␈↓ λp␈ε↓␈␈↓ 
	␈ε↓↓
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαthe␈αpolynomial␈↓ β>␈ελp␈↓ βP␈εα(␈↓ β\␈ελu␈↓ βr␈εα)␈αcan␈αbe␈αfactored␈αin␈α␈to␈↓ εL␈ελq␈↓ ε]␈εα(␈↓ εi␈ελu␈↓ ε}␈εα)␈↓ π
␈ελr␈↓ π~␈εα(␈↓ π&␈ελu␈↓ π<␈εα)␈αwhere␈↓ λ:␈εαgcd␈↓ λ}␈ελq␈↓ 	∞␈εα(␈↓ 	~␈ελu␈↓ 	0␈εα),␈↓ 	L␈ελr␈↓ 	[␈εα(␈↓ 	g␈ελu␈↓ 	⎇␈εα)␈↓ 
!␈εα=␈α
1,␈αone
␈β
:␈↓ ↓H␈εαcan␈αuse␈αthe␈αiden␈α␈tity
␈β
i␈↓ ∧M␈ε↓⊂
␈β
t␈↓ ¬\␈ε↓␈␈↓ πz␈ε↓↓
␈β∀␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈ελq␈↓ β*␈εα(␈↓ β6␈ελu␈↓ βL␈εα)␈↓ βX␈ελr␈↓ βg␈εα(␈↓ βs␈ελu␈↓ ∧	␈εα)␈α
=␈↓ ∧←␈ελa␈↓ ∧q␈εα(␈↓ ∧⎇␈ελu␈↓ ¬∪␈εα)␈↓ ¬∨␈ελr␈↓ ¬.␈εα(␈↓ ¬:␈ελu␈↓ ¬P␈εα)␈↓ ¬j␈ελx␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελu␈↓ ε∨␈εα)␈↓ ε+␈ελy␈↓ ε?␈εα(␈↓ εK␈ελu␈↓ ε`␈εα)␈↓ εr␈εαmod␈↓ π<␈ελq␈↓ πL␈εα(␈↓ πX␈ελu␈↓ πn␈εα)
␈β5␈↓ λK␈ε↓⊃
␈β@␈↓ ε ␈ε↓␈␈↓ λ=␈ε↓↓
␈β←␈↓ ∧z␈εα+␈↓ ¬&␈ελb␈↓ ¬4␈εα(␈↓ ¬@␈ελu␈↓ ¬V␈εα)␈↓ ¬b␈ελq␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελu␈↓ ε∀␈εα)␈↓ ε.␈ελx␈↓ ε@␈εα(␈↓ εL␈ελu␈↓ εb␈εα)␈↓ εn␈ελy␈↓ πα␈εα(␈↓ π∞␈ελu␈↓ π$␈εα)␈↓ π6␈εαmod␈↓ λ␈ελr␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελu␈↓ λ1␈εα)␈↓ λc␈εαmod␈↓ 	-␈ελq␈↓ 	=␈εα(␈↓ 	I␈ελu␈↓ 	←␈εα)␈↓ 	k␈ελr␈↓ 	{␈εα(␈↓ 
π␈ελu␈↓ 
≤␈εα)␈↓ 
p(57)
␈β;␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α.␈ελa␈↓ α?␈εα(␈↓ αK␈ελu␈↓ αa␈εα)␈↓ αm␈ελr␈↓ α⎇␈εα(␈↓ β	␈ελu␈↓ β∨␈εα)␈α¬+␈↓ βY␈ελb␈↓ βh␈εα(␈↓ βt␈ελu␈↓ ∧	␈εα)␈↓ ∧∃␈ελq␈↓ ∧%␈εα(␈↓ ∧1␈ελu␈↓ ∧G␈εα)␈α
=␈α
1;␈αthis␈α
is␈α
essen␈α␈tially␈α
the␈α
Chinese␈α	remainder␈α
theorem
␈βf␈↓ ↓H␈εαapplied␈αto␈αpolynomials.
␈β
⊃␈↓ α␈εαIn␈α	the␈α	third␈α	place,␈α
to␈α	evaluate␈α	the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α	of␈↓ πv␈ελx␈↓ λ	␈εα(␈↓ λ∃␈ελu␈↓ λ*␈εα)␈↓ λ6␈ελy␈↓ λJ␈εα(␈↓ λV␈ελu␈↓ λl␈εα)␈↓ λ}␈εαmod␈↓ 	H␈ελp␈↓ 	Z␈εα(␈↓ 	f␈ελu␈↓ 	|␈εα)␈α	when␈↓ 
l␈ελp␈↓ 
␈␈εα(␈↓ ␈ελu␈↓  ␈εα)
␈β
=␈↓ ↓H␈εαhas␈απonly␈απone␈απirreducible␈απfactor␈απo␈α␈v␈α␈er␈απthe␈απ|eld␈απof␈απcoe}cien␈α␈ts,␈απone␈απcan␈απuse␈απthe␈απiden␈α␈tity
␈β
n␈↓ ¬%␈ε↓␈␈↓ πβ␈ε↓↓␈↓ π⊃␈ε↓␈␈↓ λq␈ε↓↓
␈β∞
␈↓ α[␈ελx␈↓ αn␈εα(␈↓ αz␈ελu␈↓ β∂␈εα)␈↓ β≠␈ελy␈↓ β/␈εα(␈↓ β;␈ελu␈↓ βQ␈εα)␈↓ βc␈εαmod␈↓ ∧-␈ελp␈↓ ∧?␈εα(␈↓ ∧K␈ελu␈↓ ∧a␈εα)␈α
=␈↓ ¬3␈ελx␈↓ ¬F␈εα(␈↓ ¬R␈ελu␈↓ ¬g␈εα)␈↓ ¬y␈εαmod␈↓ εC␈ελp␈↓ εV␈εα(␈↓ εb␈ελu␈↓ εw␈εα)␈↓ π∨␈ελy␈↓ π4␈εα(␈↓ π@␈ελu␈↓ πU␈εα)␈↓ πg␈εαmod␈↓ λ1␈ελp␈↓ λD␈εα(␈↓ λP␈ελu␈↓ λe␈εα)␈↓ 	¬␈εαmod␈↓ 	O␈ελp␈↓ 	b␈εα(␈↓ 	n␈ελu␈↓ 
β␈εα).␈↓ 
p␈εα(58)
␈β∞↑␈↓ ↓H␈εαRepeated␈α
application␈α
of␈α∞(56),␈α
(57),␈α∞and␈α
(58)␈α
tends␈α∞to␈α
produce␈α
e}cien␈α␈t␈α
schemes,
␈β∂
␈↓ ↓H␈εαas␈αw␈α␈e␈αshall␈αsee.
␈β∂0␈↓ λ9␈ε¬5
␈β∂5␈↓ α␈εαFor␈απour␈αλexample␈απproblem␈απ(52),␈αλlet␈απus␈αλchoose␈↓ π+␈ελp␈↓ π=␈εα(␈↓ πI␈ελu␈↓ π←␈εα)␈α
=␈↓ λ#␈ελu␈↓ λI␈ε⊗␈␈↓ λn␈ελu␈↓ 	␈εαand␈απapply␈αλ(56);␈αλthe
␈β∂[␈↓ 
L␈ε¬4
␈β∂`␈↓ ↓H␈εαreason␈αλfor␈αλthis␈α	choice␈αλof␈↓ ∧9␈ελp␈↓ ∧K␈εα(␈↓ ∧W␈ελu␈↓ ∧m␈εα)␈αλwill␈α	appear␈αλas␈αλw␈α␈e␈α	proceed.␈α
Writing␈↓ 	≥␈ελp␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελu␈↓ 	Q␈εα)␈α
=␈↓ 
∃␈ελu␈↓ 
*␈εα(␈↓ 
6␈ελu␈↓ 
]␈ε⊗␈␈εα␈αβ1),
␈β⊂␈↓ ↓H␈εαrule␈α(57)␈αreduces␈αto
␈β⊂<␈↓ ∧j␈ε↓␈
␈β⊂V␈↓ βQ␈ε¬4␈↓ ¬=␈ε¬4
␈β⊂\␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈ελu␈↓ β0␈εα(␈↓ β<␈ελu␈↓ βh␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈α
=␈↓ ∧x␈ε⊗␈␈εα(␈↓ ¬(␈ελu␈↓ ¬T␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ε≡␈ελx␈↓ ε=␈ελy
␈β⊂i␈↓ ε.␈ε¬0␈↓ εN␈ε¬0
␈β⊂w␈↓ ¬J␈ε↓␈␈↓ λ-␈ε↓↓␈↓ λ;␈ε↓↓
␈β⊃⊃␈↓ ¬<␈ε¬4␈↓ πL␈ε¬4␈↓ 	:␈ε¬5
␈β⊃↔␈↓ ∧z␈εα+␈↓ ¬&␈ελu␈↓ ¬X␈ελx␈↓ ¬k␈εα(␈↓ ¬w␈ελu␈↓ ε
␈εα)␈↓ ε→␈ελy␈↓ ε-␈εα(␈↓ ε9␈ελu␈↓ εO␈εα)␈↓ εa␈εαmod␈↓ π+␈εα(␈↓ π7␈ελu␈↓ πc␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ λO␈εαmod␈↓ 	→␈εα(␈↓ 	%␈ελu␈↓ 	Q␈ε⊗␈␈↓ 	⎇␈ελu␈↓ 
∩␈εα).␈↓ 
p(59)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ 
v␈εα473
␈βα&␈↓ ↓H␈εαHere␈α
w␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈α∞used␈α
the␈α
fact␈α∞that␈↓ ¬U␈ελx␈↓ ¬h␈εα(␈↓ ¬t␈ελu␈↓ ε	␈εα)␈↓ ε∃␈ελy␈↓ ε*␈εα(␈↓ ε6␈ελu␈↓ εK␈εα)␈↓ ε]␈εαmod␈↓ π'␈ελu␈↓ πI␈εα=␈↓ πy␈ελx␈↓ λ_␈ελy␈↓ λ8␈εα;␈α∞in␈α
general␈α
it␈α∞is␈α
a␈α
good
␈βα4␈↓ λ
␈ε¬0␈↓ λ)␈ε¬0
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαidea␈α	to␈α
choose␈↓ β*␈ελp␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελu␈↓ β↑␈εα)␈α
in␈α	such␈α	a␈α
way␈α	that␈↓ ε≠␈ελp␈↓ ε-␈εα(0)␈α
=␈α
0,␈α
so␈α
that␈α	this␈α
simpli|cation␈α	can␈α	be
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαused.␈αIf␈αw␈α␈e␈α
could␈αno␈α␈w␈α
determine␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈↓ π8␈ελw␈↓ π↑␈εα,␈↓ πs␈ελw␈↓ λ→␈εα,␈↓ λ.␈ελw␈↓ λT␈εα,␈↓ λi␈ελw␈↓ 	→␈εαof␈αthe␈α
polynomial
␈ββ
␈↓ πP␈ε¬0␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λF␈ε¬2␈↓ 	↓␈ε¬3
␈ββ#␈↓ β<␈ε¬4␈↓ εI␈ε¬2␈↓ πB␈ε¬3
␈ββ(␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈εα(␈↓ β&␈ελu␈↓ βO␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈α
=␈↓ ∧N␈ελw␈↓ ∧z␈εα+␈↓ ¬#␈ελw␈↓ ¬I␈ελu␈↓ ¬d␈εα+␈↓ ε
␈ελw␈↓ ε4␈ελu␈↓ ε]␈εα+␈↓ πε␈ελw␈↓ π,␈ελu␈↓ πP␈εα,␈αour␈α
problem␈α
w␈α␈ould␈α
be␈α	solv␈α␈ed,
␈ββ5␈↓ ∧f␈ε¬0␈↓ ¬;␈ε¬1␈↓ ε%␈ε¬2␈↓ π≡␈ε¬3
␈ββS␈↓ ↓H␈εαsince
␈β∧π␈↓ α-␈ε↓␈␈↓ ¬∂␈ε↓↓
␈β∧!␈↓ α≡␈ε¬4␈↓ ∧/␈ε¬4␈↓ ε∂␈ε¬5␈↓ πg␈ε¬4␈↓ 	U␈ε¬2␈↓ 
S␈ε¬3
␈β∧'␈↓ α	␈ελu␈↓ α;␈ελx␈↓ αN␈εα(␈↓ αZ␈ελu␈↓ αo␈εα)␈↓ α{␈ελy␈↓ β∂␈εα(␈↓ β≠␈ελu␈↓ β1␈εα)␈↓ βC␈εαmod␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧→␈ελu␈↓ ∧E␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ¬#␈εαmod␈↓ ¬m␈εα(␈↓ ¬y␈ελu␈↓ ε%␈ε⊗␈␈↓ εQ␈ελu␈↓ εg␈εα)␈α
=␈↓ π+␈ελw␈↓ πQ␈ελu␈↓ π⎇␈εα+␈↓ λ)␈ελw␈↓ λO␈ελu␈↓ λm␈εα+␈↓ 	→␈ελw␈↓ 	?␈ελu␈↓ 	k␈εα+␈↓ 
↔␈ελw␈↓ 
=␈ελu␈↓ 
a␈εα,
␈β∧4␈↓ πC␈ε¬0␈↓ λA␈ε¬1␈↓ 	1␈ε¬2␈↓ 
/␈ε¬3
␈β∧{␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αcom␈α␈bination␈αof␈α(56)␈αand␈α(59)␈αw␈α␈ould␈αreduce␈αto
␈β¬I␈↓ ε"␈ε¬2␈↓ π≥␈ε¬3␈↓ 	 ␈ε¬4␈↓ 
4␈ε¬5
␈β¬O␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈α
=␈↓ βα␈ελx␈↓ β!␈ελy␈↓ βG␈εα+␈αε(␈↓ β⎇␈ελw␈↓ ∧*␈ε⊗␈␈↓ ∧U␈ελx␈↓ ∧t␈ελy␈↓ ¬∪␈εα)␈↓ ¬∨␈ελu␈↓ ¬;␈εα+␈↓ ¬f␈ελw␈↓ ε␈ελu␈↓ ε7␈εα+␈↓ εb␈ελw␈↓ πλ␈ελu␈↓ π2␈εα+␈απ(␈↓ πi␈ελw␈↓ λ⊗␈ε⊗␈␈↓ λ@␈ελx␈↓ λ←␈ελy␈↓ λ␈␈εα)␈↓ 	␈ελu␈↓ 	5␈εα+␈↓ 	`␈ελx␈↓ 	␈␈ελy␈↓ 
≡␈ελu␈↓ 
B␈εα.␈↓ 
p␈εα(60)
␈β¬\␈↓ β∩␈ε¬0␈↓ β2␈ε¬0␈↓ ∧∃␈ε¬1␈↓ ∧e␈ε¬2␈↓ ¬¬␈ε¬3␈↓ ¬}␈ε¬2␈↓ εy␈ε¬3␈↓ λ↓␈ε¬0␈↓ λQ␈ε¬0␈↓ λp␈ε¬0␈↓ 	q␈ε¬2␈↓ 
⊂␈ε¬3
␈βε#␈↓ ↓H␈εα(This␈αform␈α␈ula␈αcan,␈αof␈αcourse,␈αbe␈αv␈α␈eri|ed␈αdirectly.)
␈βεI␈↓ 
?␈ε¬4
␈βεN␈↓ α␈εαThe␈α∞problem␈α∂remaining␈α∞to␈α∂be␈α∞solv␈α␈ed␈α∂is␈α∞to␈α∞compute␈↓ λK␈ελx␈↓ λ↑␈εα(␈↓ λj␈ελu␈↓ λ␈␈εα)␈↓ 	␈ελy␈↓ 	∨␈εα(␈↓ 	+␈ελu␈↓ 	A␈εα)␈↓ 	S␈εαmod␈↓ 
≥␈εα(␈↓ 
)␈ελu␈↓ 
W␈ε⊗␈␈εα␈α	1);
␈βεy␈↓ ↓H␈εαand␈αthis␈αsubproblem␈αis␈αin␈α␈teresting␈αin␈αitself.␈αLet␈αus␈αmomen␈α␈tarily␈αallo␈α␈w␈↓ 
⊃␈ελx␈↓ 
$␈εα(␈↓ 
0␈ελu␈↓ 
F␈εα)␈αto␈αbe
␈βπ∨␈↓ 
_␈ε¬4
␈βπ$␈↓ ↓H␈εαof␈α
degree␈α
3␈α
instead␈α
of␈α	degree␈α
2.␈αThen␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ λ$␈ελx␈↓ λ6␈εα(␈↓ λB␈ελu␈↓ λX␈εα)␈↓ λd␈ελy␈↓ λx␈εα(␈↓ 	∧␈ελu␈↓ 	~␈εα)␈↓ 	,␈εαmod␈↓ 	v␈εα(␈↓ 
α␈ελu␈↓ 
+␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)␈α
are
␈βπP␈↓ ↓H␈εαrespectiv␈α␈ely
␈βλ#␈↓ ↓l␈ελx␈↓ α␈ελy␈↓ α2␈εα+␈↓ α↑␈ελx␈↓ α⎇␈ελy␈↓ β$␈εα+␈↓ βP␈ελx␈↓ βo␈ελy␈↓ ∧↔␈εα+␈↓ ∧C␈ελx␈↓ ∧b␈ελy␈↓ ¬↓␈εα,␈↓ ¬5␈ελx␈↓ ¬T␈ελy␈↓ ¬{␈εα+␈↓ ε'␈ελx␈↓ εF␈ελy␈↓ εn␈εα+␈↓ π~␈ελx␈↓ π9␈ελy␈↓ π`␈εα+␈↓ λ␈ελx␈↓ λ+␈ελy␈↓ λK␈εα,
␈βλ1␈↓ ↓|␈ε¬0␈↓ α≤␈ε¬0␈↓ αo␈ε¬1␈↓ β∞␈ε¬3␈↓ βa␈ε¬2␈↓ ∧␈ε¬2␈↓ ∧S␈ε¬3␈↓ ∧s␈ε¬1␈↓ ¬F␈ε¬0␈↓ ¬e␈ε¬1␈↓ ε8␈ε¬1␈↓ εW␈ε¬0␈↓ π*␈ε¬2␈↓ πJ␈ε¬3␈↓ λ≥␈ε¬3␈↓ λ<␈ε¬2
␈βλY␈↓ ∧ ␈ελx␈↓ ∧>␈ελy␈↓ ∧f␈εα+␈↓ ¬∩␈ελx␈↓ ¬1␈ελy␈↓ ¬X␈εα+␈↓ ε∧␈ελx␈↓ ε#␈ελy␈↓ εK␈εα+␈↓ εw␈ελx␈↓ π⊗␈ελy␈↓ π5␈εα,␈↓ πi␈ελx␈↓ λλ␈ελy␈↓ λ/␈εα+␈↓ λ[␈ελx␈↓ λz␈ελy␈↓ 	"␈εα+␈↓ 	N␈ελx␈↓ 	m␈ελy␈↓ 
∀␈εα+␈↓ 
@␈ελx␈↓ 
←␈ελy␈↓ 
}␈εα,
␈βλg␈↓ ∧0␈ε¬0␈↓ ∧O␈ε¬2␈↓ ¬"␈ε¬1␈↓ ¬B␈ε¬1␈↓ ε∃␈ε¬2␈↓ ε4␈ε¬0␈↓ ππ␈ε¬3␈↓ π'␈ε¬3␈↓ πz␈ε¬0␈↓ λ→␈ε¬3␈↓ λl␈ε¬1␈↓ 	␈ε¬2␈↓ 	↑␈ε¬2␈↓ 	}␈ε¬1␈↓ 
Q␈ε¬3␈↓ 
p␈ε¬0
␈β	-␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αcorresponding␈αtensor␈αis
␈β	`␈↓ β⎇␈ε↓0␈↓ ¬↓␈ε↓1␈↓ ¬→␈ε↓0␈↓ ε≥␈ε↓1␈↓ ε5␈ε↓0␈↓ π9␈ε↓1␈↓ πQ␈ε↓0␈↓ λU␈ε↓1
␈β
β␈↓ ∧∃␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ ¬1␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ εM␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ πi␈εα0␈α0␈α0␈α1
␈β
 ␈↓ β⎇␈ε↓B␈↓ ¬↓␈ε↓C␈↓ ¬→␈ε↓B␈↓ ε≥␈ε↓C␈↓ ε5␈ε↓B␈↓ π9␈ε↓C␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ λU␈ε↓C
␈β
'␈↓ ∧∃␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ ¬1␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ εM␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ πi␈εα0␈α0␈α1␈α0
␈β
5␈↓ λm␈εα.␈↓ 
p␈εα(61)
␈β
6␈↓ β⎇␈ε↓@␈↓ ¬↓␈ε↓A␈↓ ¬→␈ε↓@␈↓ ε≥␈ε↓A␈↓ ε5␈ε↓@␈↓ π9␈ε↓A␈↓ πQ␈ε↓@␈↓ λU␈ε↓A
␈β
K␈↓ ∧∃␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ ¬1␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ εM␈εα1␈α0␈α0␈α0␈↓ πi␈εα0␈α1␈α0␈α0
␈β
o␈↓ ∧∃␈εα0␈α1␈α0␈α0␈↓ ¬1␈εα0␈α0␈α1␈α0␈↓ εM␈εα0␈α0␈α0␈α1␈↓ πi␈εα1␈α0␈α0␈α0
␈β:␈↓ 
U␈εn
␈β?␈↓ ↓H␈εαIn␈απgeneral␈απwhen␈απdeg(␈↓ ∧↓␈ελx␈↓ ∧∀␈εα)␈α
=␈↓ ∧X␈εαdeg␈↓ ¬∞␈εα(␈↓ ¬~␈ελy␈↓ ¬.␈εα)␈α
=␈↓ ¬r␈ελn␈↓ ε	␈ε⊗␈␈εα␈αα1,␈αλthe␈απcoe}cien␈α␈ts␈απof␈↓ λb␈ελx␈↓ λt␈εα(␈↓ 	␈ελu␈↓ 	⊗␈εα)␈↓ 	"␈ελy␈↓ 	6␈εα(␈↓ 	B␈ελu␈↓ 	X␈εα)␈↓ 	j␈εαmod␈↓ 
4␈εα(␈↓ 
@␈ελu␈↓ 
i␈ε⊗␈␈εα␈α↓1)
␈βj␈↓ ↓H␈εαare␈αcalled␈α
the␈ε∂␈α
cy␈α␈clic␈αcon␈α␈v␈α␈olution␈εα␈α
of␈α
(␈↓ επ␈ελx␈↓ ε&␈εα,␈↓ ε6␈ελx␈↓ εU␈εα,␈↓ εe␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π∃␈εα,␈↓ π%␈ελx␈↓ πr␈εα)␈α
and␈α
(␈↓ λ↑␈ελy␈↓ λ⎇␈εα,␈↓ 	
␈ελy␈↓ 	,␈εα,␈↓ 	<␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	l␈εα,␈↓ 	|␈ελy␈↓ 
J␈εα).␈α∞The
␈βx␈↓ ε↔␈ε¬0␈↓ εF␈ε¬1␈↓ π5␈εn␈↓ πG␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λo␈ε¬0␈↓ 	≡␈ε¬1␈↓ 

␈εn␈↓ 
∨␈ε→␈␈ε¬1
␈βz␈↓ ε@␈ε↓P
␈β⊗␈↓ ↓H␈ελk␈↓ ↓Y␈εαth␈α∩coe}cien␈α␈t␈↓ β9␈ελw␈↓ βq␈εαis␈α⊃the␈α⊃bilinear␈α∩form␈↓ εl␈ελx␈↓ π
␈ελy␈↓ π<␈εαsummed␈α∩o␈α␈v␈α␈er␈α⊃all␈↓ 	Z␈ελi␈↓ 	y␈εαand␈↓ 
E␈ελj␈↓ 
f␈εαwith
␈β#␈↓ βQ␈εk␈↓ ε|␈εi␈↓ π≡␈εj
␈βA␈↓ ↓H␈ελi␈↓ ↓↑␈εα+␈↓ α
␈ελj␈↓ α$␈ε⊗⊃␈↓ αR␈ελk␈↓ αn␈εα(modulo␈↓ βz␈ελn␈↓ ∧∂␈εα).
␈βl␈↓ α␈εαThe␈α∞cy␈α␈clic␈α∂con␈α␈v␈α␈olution␈α∞of␈α∂degree␈α∞4␈α∂can␈α∞be␈α∂obtained␈α∞by␈α∂applying␈α∞rule␈α∞(57).
␈β
∩␈↓ εC␈ε¬4␈↓ 
@␈ε¬2
␈β
↔␈↓ ↓H␈εαThe␈α
|rst␈α∞step␈α∞is␈α∞to␈α
|nd␈α∞the␈α∞factors␈α∞of␈↓ ε.␈ελu␈↓ ε[␈ε⊗␈␈εα␈α	1,␈α∞namely␈α∞(␈↓ λ>␈ελu␈↓ λ]␈ε⊗␈␈εα␈α	1)(␈↓ 	4␈ελu␈↓ 	S␈εα+␈α	1)(␈↓ 
*␈ελu␈↓ 
W␈εα+␈α	1).
␈β
=␈↓ ∧O␈ε¬2␈↓ ¬L␈ε¬2
␈β
B␈↓ ↓H␈εαWe␈α
could␈α
write␈α
this␈αas␈α
(␈↓ ∧9␈ελu␈↓ ∧c␈ε⊗␈␈εα␈α¬1)(␈↓ ¬6␈ελu␈↓ ¬`␈εα+␈αε1),␈α
then␈αapply␈α
rule␈α
(57),␈αthen␈α
use␈α
(57)␈α
again
␈β
i␈↓ ∧5␈ε¬2
␈β
n␈↓ ↓H␈εαon␈α∂the␈α∂part␈α⊂modulo␈α∂(␈↓ ∧∨␈ελu␈↓ ∧M␈ε⊗␈␈εα␈α
1)␈α⊂=␈α⊂(␈↓ ¬i␈ελu␈↓ ελ␈εα+␈α1)(␈↓ εa␈ελu␈↓ π↓␈ε⊗␈␈εα␈α
1);␈α⊃but␈α∂it␈α∂is␈α⊂easier␈α∂to␈α∂generalize
␈β∞→␈↓ ↓H␈εαthe␈α
Chinese␈α
remainder␈α∞rule␈α
(57)␈α∞directly␈α
to␈α
the␈α∞case␈α
of␈α∞sev␈α␈eral␈α
relativ␈α␈ely␈α
prime
␈β∞D␈↓ ↓H␈εαfactors,␈αe.g.,
␈β∂∩␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈ελq␈↓ β5␈εα(␈↓ βA␈ελu␈↓ βW␈εα)␈↓ βc␈ελq␈↓ β}␈εα(␈↓ ∧
␈ελu␈↓ ∧ ␈εα)␈↓ ∧,␈ελq␈↓ ∧G␈εα(␈↓ ∧S␈ελu␈↓ ∧i␈εα)
␈β∂≡␈↓ α~␈ε↓⊂
␈β∂ ␈↓ β'␈ε¬1␈↓ βp␈ε¬2␈↓ ∧9␈ε¬3
␈β∂)␈↓ ∧␈ε↓␈␈↓ ε4␈ε↓↓␈↓ λU␈ε↓␈␈↓ 
}␈ε↓↓
␈β∂H␈↓ ↓l␈εα=␈↓ α,␈ελa␈↓ αK␈εα(␈↓ αW␈ελu␈↓ αl␈εα)␈↓ αx␈ελq␈↓ β∀␈εα(␈↓ β ␈ελu␈↓ β6␈εα)␈↓ βB␈ελq␈↓ β]␈εα(␈↓ βi␈ελu␈↓ β␈␈εα)␈↓ ∧→␈ελx␈↓ ∧+␈εα(␈↓ ∧7␈ελu␈↓ ∧M␈εα)␈↓ ∧Y␈ελy␈↓ ∧m␈εα(␈↓ ∧y␈ελu␈↓ ¬∂␈εα)␈↓ ¬!␈εαmod␈↓ ¬k␈ελq␈↓ εε␈εα(␈↓ ε∩␈ελu␈↓ ε(␈εα)␈↓ εJ␈εα+␈↓ εv␈ελa␈↓ π∃␈εα(␈↓ π!␈ελu␈↓ π7␈εα)␈↓ πC␈ελq␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελu␈↓ λ␈εα)␈↓ λ␈ελq␈↓ λ'␈εα(␈↓ λ3␈ελu␈↓ λI␈εα)␈↓ λc␈ελx␈↓ λv␈εα(␈↓ 	α␈ελu␈↓ 	↔␈εα)␈↓ 	#␈ελy␈↓ 	7␈εα(␈↓ 	C␈ελu␈↓ 	Y␈εα)␈↓ 	k␈εαmod␈↓ 
5␈ελq␈↓ 
Q␈εα(␈↓ 
]␈ελu␈↓ 
r␈εα)
␈β∂V␈↓ α<␈ε¬1␈↓ β¬␈ε¬2␈↓ βO␈ε¬3␈↓ ¬x␈ε¬1␈↓ ππ␈ε¬2␈↓ πP␈ε¬1␈↓ λ→␈ε¬3␈↓ 
B␈ε¬2
␈β∂b␈↓ π←␈ε↓⊃
␈β∂m␈↓ ¬(␈ε↓␈␈↓ πQ␈ε↓↓
␈β⊂
␈↓ β≥␈εα+␈↓ βI␈ελa␈↓ βh␈εα(␈↓ βt␈ελu␈↓ ∧
␈εα)␈↓ ∧⊗␈ελq␈↓ ∧1␈εα(␈↓ ∧=␈ελu␈↓ ∧S␈εα)␈↓ ∧←␈ελq␈↓ ∧z␈εα(␈↓ ¬ε␈ελu␈↓ ¬≤␈εα)␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬H␈εα(␈↓ ¬T␈ελu␈↓ ¬j␈εα)␈↓ ¬v␈ελy␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε⊗␈ελu␈↓ ε,␈εα)␈↓ ε>␈εαmod␈↓ πλ␈ελq␈↓ π#␈εα(␈↓ π/␈ελu␈↓ πE␈εα)␈↓ πw␈εαmod␈↓ λA␈ελq␈↓ λ\␈εα(␈↓ λh␈ελu␈↓ λ}␈εα)␈↓ 	
␈ελq␈↓ 	%␈εα(␈↓ 	1␈ελu␈↓ 	G␈εα)␈↓ 	S␈ελq␈↓ 	o␈εα(␈↓ 	{␈ελu␈↓ 
⊂␈εα),␈α*(62)
␈β⊂~␈↓ βY␈ε¬3␈↓ ∧#␈ε¬1␈↓ ∧l␈ε¬2␈↓ π∃␈ε¬3␈↓ λN␈ε¬1␈↓ 	↔␈ε¬2␈↓ 	`␈ε¬3
␈β⊂O␈↓ λv␈ε↓␈
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α+␈ελa␈↓ αJ␈εα(␈↓ αV␈ελu␈↓ αl␈εα)␈↓ αx␈ελq␈↓ β∪␈εα(␈↓ β∨␈ελu␈↓ β5␈εα)␈↓ βA␈ελq␈↓ β\␈εα(␈↓ βh␈ελu␈↓ β}␈εα)␈α↓+␈↓ ∧0␈ελa␈↓ ∧P␈εα(␈↓ ∧\␈ελu␈↓ ∧q␈εα)␈↓ ∧⎇␈ελq␈↓ ¬→␈εα(␈↓ ¬%␈ελu␈↓ ¬:␈εα)␈↓ ¬F␈ελq␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελu␈↓ εβ␈εα)␈αα+␈↓ ε6␈ελa␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελu␈↓ εw␈εα)␈↓ πβ␈ελq␈↓ π≡␈εα(␈↓ π*␈ελu␈↓ π@␈εα)␈↓ πL␈ελq␈↓ πg␈εα(␈↓ πs␈ελu␈↓ λ	␈εα)␈α
=␈α
1.␈↓ 	∧␈εαThe␈απlatter␈απequation
␈β⊂|␈↓ α;␈ε¬1␈↓ β¬␈ε¬2␈↓ βN␈ε¬3␈↓ ∧A␈ε¬2␈↓ ¬
␈ε¬1␈↓ ¬S␈ε¬3␈↓ εG␈ε¬3␈↓ π⊂␈ε¬1␈↓ πY␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαcan␈α
be␈α∞understood␈α∞in␈α
another␈α∞way,␈α∞by␈α∞noting␈α∞that␈↓ πy␈ελa␈↓ λ_␈εα(␈↓ λ$␈ελu␈↓ λ:␈εα)/␈↓ λX␈ελq␈↓ λs␈εα(␈↓ λ␈␈ελu␈↓ 	∃␈εα)␈α	+␈↓ 	W␈ελa␈↓ 	w␈εα(␈↓ 
β␈ελu␈↓ 
_␈εα)/␈↓ 
6␈ελq␈↓ 
R␈εα(␈↓ 
↑␈ελu␈↓ 
s␈εα)␈α	+
␈β⊃(␈↓ λ
␈ε¬1␈↓ λe␈ε¬1␈↓ 	h␈ε¬2␈↓ 
C␈ε¬2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα474␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC←FIRST␈α	P␈α␈ROOFS␈ε⊗␈α	⎇␈ε∞␈α	1␈α␈97␈α␈8␈εα␈↓ 
|4.x
␈βα&␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓g␈εα(␈↓ ↓s␈ελu␈↓ αλ␈εα)/␈↓ α&␈ελq␈↓ αB␈εα(␈↓ αN␈ελu␈↓ αd␈εα)␈α
is␈α∞the␈α∞partial␈α∞fraction␈α∞expansion␈α
of␈α∞1/␈↓ πZ␈ελq␈↓ πv␈εα(␈↓ λα␈ελu␈↓ λ↔␈εα)␈↓ λ#␈ελq␈↓ λ?␈εα(␈↓ λK␈ελu␈↓ λ`␈εα)␈↓ λl␈ελq␈↓ 	λ␈εα(␈↓ 	∀␈ελu␈↓ 	)␈εα).␈α∩When␈α∞each␈α
of
␈βα4␈↓ ↓X␈ε¬3␈↓ α3␈ε¬3␈↓ πg␈ε¬1␈↓ λ0␈ε¬2␈↓ λy␈ε¬3
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαthe␈↓ α	␈ελq␈↓ α→␈εα's␈α⊂is␈α⊂a␈α⊂linear␈α∂polynomial␈↓ ¬0␈ελu␈↓ ¬P␈ε⊗␈␈↓ ¬␈␈ελ␈↓ ε≥␈εα,␈α⊃the␈α∂generalized␈α⊂Chinese␈α⊂remainder␈α∂rule
␈βα]␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βα←␈↓ ε⊃␈εi
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαreduces␈α
to␈α
ordinary␈α
in␈α␈terpolation␈α
as␈αin␈α
Eq.␈α
(41),␈αsince␈↓ λ␈ελf␈↓ λ≤␈εα(␈↓ λ(␈ελu␈↓ λ>␈εα)␈↓ λP␈εαmod␈↓ 	~␈εα(␈↓ 	&␈ελu␈↓ 	A␈ε⊗␈␈↓ 	k␈ελ␈↓ 
	␈εα)␈α
=␈↓ 
M␈ελf␈↓ 
↑␈εα(␈↓ 
j␈ελ␈↓ λ␈εα).
␈ββ
␈↓ 	⎇␈εi␈↓ 
⎇␈εi
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαFrom␈α(62)␈αw␈α␈e␈αobtain
␈ββ←␈↓ ∧T␈ε↓⊂
␈ββ⎇␈↓ ∧|␈επ3␈↓ ¬6␈επ2␈↓ πd␈επ3␈↓ λ≡␈επ2
␈β∧↓␈↓ ∧j␈εu␈↓ ¬π␈ε¬+␈↓ ¬$␈εu␈↓ ¬A␈ε¬+␈↓ ¬↑␈εu␈↓ ¬p␈ε¬+1␈↓ πR␈εu␈↓ πo␈ε→␈␈↓ λ␈εu␈↓ λ)␈ε¬+␈↓ λF␈εu␈↓ λX␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧∧␈↓ β<␈ε¬4
␈β∧	␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελu␈↓ ↓|␈εα)␈↓ αλ␈ελy␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελu␈↓ α>␈εα)␈↓ αP␈εαmod␈↓ β~␈εα(␈↓ β&␈ελu␈↓ βR␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈α
=␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε2␈εα(1)␈↓ ε\␈ελy␈↓ εp␈εα(1)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	π␈ελx␈↓ 	~␈εα(␈ε⊗␈␈εα1)␈↓ 	h␈ελy␈↓ 	|␈εα(␈ε⊗␈␈εα1)
␈β∧→␈↓ ∧j␈∧∧→∧jα↓2␈↓ πR␈∧∧→πRα↓2
␈β∧≤␈↓ ¬;␈ε¬4␈↓ λ#␈ε¬4
␈β∧1␈↓ λ↑␈ε↓⊃
␈β∧<␈↓ ¬n␈ε↓␈␈↓ λP␈ε↓↓
␈β∧U␈↓ ¬4␈επ2
␈β∧W␈↓ πp␈ε¬2␈↓ 	b␈ε¬4
␈β∧Y␈↓ ¬"␈εu␈↓ ¬?␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧\␈↓ ∧r␈ε⊗␈␈↓ ¬|␈ελx␈↓ ε∂␈εα(␈↓ ε≠␈ελu␈↓ ε1␈εα)␈↓ ε=␈ελy␈↓ εQ␈εα(␈↓ ε]␈ελu␈↓ εr␈εα)␈↓ π∧␈εαmod␈↓ πN␈εα(␈↓ πZ␈ελu␈↓ λε␈εα+␈αλ1)␈↓ λv␈εαmod␈↓ 	@␈εα(␈↓ 	L␈ελu␈↓ 	x␈ε⊗␈␈εα␈αλ1).␈α$(63)
␈β∧l␈↓ ¬"␈∧∧l¬"αI
␈β∧o␈↓ ¬?␈ε¬2
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓⊂⊃∩∪~ !01@ABCPXX/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=∩!"'()+,-./0123456789:;<=>ABCEFGHIJKLMNOPRSTUVWYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}}/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=()+==/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=∩01234567899/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()+,./01234578<=[]degltt/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=FGSTcdehinoprstvv/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=01233/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=
→ABCDFINOQXYZabcdfgijklmnpqrstuwxyzz/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=ABCDabcdww/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=ijklmnstuxx/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=jnn/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=1789ACEFHIMOPRST←←/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=∪',-.:;ACDEFIJLMNPSTWabcdefghiklmnopqrstuvwxyz{|}}/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]=*.1234568BLSTacefilmnoprstuvyy/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓α⊃∀∃→≤ bcdefghip⎇⎇/FONT#24=cmsy8[XGP,SYS]=/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=↓∀0hii/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=